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Como resolver cos(θ)=1 e cos(θ)=-1

Transcrição de vídeo

RKA - No gráfico abaixo, para quais valores de Θ temos “cos Θ = 1” e para quais valores de Θ temos “cos Θ = -1”? E ele nos dá um gráfico aqui bem legal (desenhado aqui embaixo), onde o eixo horizontal é o eixo do Θ e o eixo vertical é o eixo do "y = cos Θ”. E esse gráfico faz todo o sentido naquele círculo unitário. Vamos ver se você já está familiarizado com isso. Eu vou desenhar aqui o círculo unitário. Vai ficar mais ou menos assim (é só para a gente ter uma ideia geral da coisa, né?). Quando o Θ é igual a zero (o ângulo zero), qual é a coordenada "x" desse ponto aqui? Ora, a coordenada "x" é igual a 1. E está batendo exatamente como está no gráfico, né? "Θ = 0", o “cos Θ” está aqui, é igual a 1. E quando Θ é π/2? Quando Θ é π/2, aqui está o ponto referente a esse ângulo. E qual vai ser a coordenada "x" desse pontinho aqui? Ora, vai ser zero. E, aí, você vê que, quando o Θ é π/2, o “cos Θ”, que está aqui, é igual a zero. E, aí, você percebe que esse gráfico aqui faz todo sentido com esse círculo unitário. Estamos andando na direção anti-horária do círculo unitário, portanto na direção positiva dos ângulos; e, para os ângulos negativos, quando eu me mover aqui na direção horária desse círculo unitário (assim), eu vou ter, então, os valores aqui do “cos Θ” para os ângulos negativos. Vamos responder agora à pergunta. A pergunta é a seguinte: para quais valores de Θ, temos “cos Θ = 1”? Pois bem, basta a gente ver o gráfico. O “cos Θ” vai ser igual a 1, por exemplo, aqui quando Θ for igual a zero. Então, vamos escrever isso aqui: "cos Θ" vai ser igual a 1 quando o Θ for igual a zero. Também vai ser 1 quando ele chegar aqui no ângulo 2π. Sim ou não? Então, 2π. O que faz todo sentido também, já que, para chegarmos nesse ponto aqui novamente, do ângulo zero (quando o “cos Θ = 1”), nós temos que andar todo o círculo unitário, e, aí, nós paramos aqui, novamente, com o “cos Θ = 1”. Por isso que é zero, 2π, e isso segue indefinidamente e, também, ciclicamente, periodicamente. Ou seja, quando dermos mais uma volta, 4π radianos, também estaremos no “cos Θ = 1”. Depois, mais uma volta, 6π radianos, “cos Θ = 1”. Portanto, zero, 2π, 4π, 6π... e você já está percebendo um padrão aqui, né? E nós vamos atingir o “cos Θ = 1” sempre que nós tivermos um múltiplo de 2π. Então, eu posso dizer aqui um “2π‧(n)" quando "n" é um número inteiro ("n" vai ser um número inteiro). E isso aqui também funciona para os ângulos negativos. Olha só! O ângulo zero está aqui, “cos Θ = 1”; -2π depois, novamente, “cos Θ = 1”; -4π, “cos Θ = 1"; e assim por diante. E isso aqui se aplica, já que o "n" é um número inteiro, então, ele pode ser também um número negativo, né? Então, ele nos devolve todos os valores para onde o “cos Θ” vai ser igual a 1. Agora, vamos ver para quais valores o “cos Θ = -1”. Então, vamos lá! O “cos Θ” vai ser igual a -1 quando o Θ for igual a quanto? Ora, basta olhar para o gráfico. Olha aqui! Vai ser -1 quando Θ for igual a π. Então, eu vou botar aqui π. Depois disso, você percebe que esse gráfico continua, ele segue esse mesmo padrão (ele faz aqui assim, né?) Então, nesse ponto aqui, vai ser -1 também; que, no caso, vai ser 3π. Então, eu vou colocar aqui 3π. O que faz todo sentido, já que se eu estou no π e o cosseno é -1, quando eu ando mais 2π, ou seja, no 3π, eu paro nesse mesmo ponto. E o “cos Θ” aqui também vai ser -1. Ficou claro? Em meia volta, a gente tem o “cos Θ = -1”. Depois, em 3π, nós temos novamente o “cos Θ = -1”. E, aí, quando adicionarmos, novamente, mais 2π radianos, nós vamos, novamente, ter “cos Θ = -1”. Então, 5π também serve. E também funciona para os ângulos negativos, né? Eu estou aqui, o “cos Θ” é -1, e, quando eu tiro 2π, nesse caso, andando nessa outra direção, eu vou ter o ângulo -π . Está aqui! No gráfico você percebe. Então, -π também vai ser a solução aqui. Então, eu posso pensar num termo geral aqui como sendo "2πn + π". Colocando o π em evidência, eu vou ter "(2n + 1)‧π", e esse "n" aqui também é um número inteiro, certo? Ou seja, para todos esses valores de Θ aqui, o “cos Θ” vai ser igual a -1. Como você pode perceber aqui, para sair desse -1 aqui e chegar, novamente, no “cos Θ = -1”, ele percorre um caminho de 2π. E, depois, novamente, mais 2π, e ele chega no “cos Θ = -1” novamente. E é exatamente a mesma coisa aqui para o topo da função, ou seja, quando o “cos Θ = 1”. Daqui até aqui, nós temos também 2π. Depois eu preciso de mais 2π para chegar no próximo topo. Tranquilo? Ficou claro? Então, até o próximo vídeo!