If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Problema de trigonometria: resolução para encontrar a temperatura

Neste vídeo, resolvemos um problema sobre a variação anual na temperatura por meio da resolução de uma equação senoidal. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

  • Avatar aqualine ultimate style do usuário Gabriel Motta
    Por que foi usada a função cosseno?
    (5 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar aqualine seed style do usuário xiko312
    Às quando meto na máquina de calcular (TI-84 Plus) 4.511*365/2pi, em vez do resultado dar 262, dá 2586.357522. Será a minha máquina que está mal configurada?
    (3 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar leaf blue style do usuário Luiz Portella
      Na minha (pela sua maneira) dá 2586.339714, acho que por arredondamento do pi ou diferença do algoritmo... sinistro! Mas o problema é que você tá usando errado a calculadora, veja que você faz 4,511 * 365 / 2 * pi.... que é o mesmo que 4,511 . (365/2) . pi! Para chegar no valor correto faça assim: 4,511 * 365 / 2 / pi. Fazendo assim aqui dá 262.0510011, que é 262... Para ficar mais claro, veja que 8/(2. 4) = 1, mas se você fizer 8/2 * 4, dará 16, então sem usar parênteses deve fazer 8/2 /4. Certo?
      (3 votos)
  • Avatar aqualine ultimate style do usuário guconsulo
    "Agora Perceba!"
    Estou cada vez mais convencido de que esse é o Professor Rafael Procopio.
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar leaf blue style do usuário jamerson felix
    Ich habe gar nicht verstanden.
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar mr pants teal style do usuário Guilherme David
    Às , por que foi calculado o Cosseno inverso? Isso não seria a secante?
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar leaf blue style do usuário Luiz Portella
      Guilherme, veja que arc cos (0,5) = cos⁻¹ (0,5) = 60⁰ ou pi/3 rad.
      Já 1/cos (0,5) = [cos (0,5)]⁻¹ = secante (0,5) = 1,13949. O mesmo é válido para seno. sen ⁻¹ (x) não é o mesmo que cossecante! Bons estudos! Muito boa sua pergunta, nunca tinha pensado nisso...
      (1 voto)
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA - No último vídeo, nós modelamos uma expressão para a temperatura em função do número de dias conforme o passar de um ano na cidade de Santiago do Chile; e o nosso ponto inicial foi o dia 7 de janeiro. Mas nós não terminamos; eles querem que a gente descubra quantos dias após o dia 7 de janeiro será o primeiro dia de primavera quando a temperatura alcança 20 graus Celsius. E eu te dei até uma dica para prestar atenção nesse primeiro dia de primavera, porque tem dois dias do ano em que a temperatura atinge 20 graus. Repare que 20 graus Celsius está bem aqui, e, se eu vier com essa linha horizontal, vai dar 20 graus Celsius aqui e também aqui. É ou não é? E em qual desses dois pontos aqui a gente vai estar na primavera? Ora, aqui é o verão; ele nos diz no enunciado, o primeiro dia, que é o dia 7 de janeiro. Qual é a estação que vem depois do verão? É o outono. Então, aqui, a gente vai ter o outono. No meio, aqui, a gente vai ter o inverno; e, depois do inverno, é claro que vem a primavera. E, depois, a gente retorna para o verão, certo? E, portanto, a gente quer esse valor aqui, e não esse. Esse dia aqui vai ser um dia de outono; a gente quer um dia de primavera. Note que não é, na verdade, o primeiro dia de primavera, é o primeiro dia de primavera quando a temperatura alcança 20 graus Celsius, tá? Ou seja, isso aqui está acontecendo durante a primavera. Então, vamos manipular isso daqui um pouquinho. Eu estou dizendo que a temperatura é de 20. Então, aqui, vai ser 20 igual a "7,5" vezes o cosseno de 2π /365 multiplicado pelo número de dias (que é o que eu quero saber) mais "21,5". E, agora, eu posso subtrair "21,5" dos dois lados e aqui vai ficar "-1,5" igual a isso aqui. Então, eu vou copiar e colar isso daqui (então, control c, control v). Agora, deixe-me posicionar aqui no lugar correto (bem aqui). Então, você perceba que estou tentando resolver aqui para achar o cosseno. Na verdade, eu quero achar o "d" de dias, só que eu vou fazer uma pausa quando chegar no cosseno, beleza? Vamos dividir os dois lados por "7,5" agora. Então, aqui, eu vou dividir por "7,5"; aqui também divido por "7,5". Para fazer essa conta aqui, eu não vou precisar nem de uma calculadora, pois "1,5" dividido por "7,5" vai dar 1/5; e 1/5 é a mesma coisa que "-0,2". Isso vai ser igual ao cosseno de 2π/365 vezes o número de dias depois do dia 7 de janeiro. E, agora, aqui, a gente tem que tomar bastante cuidado, pois, em vez de eu simplesmente calcular o inverso do cosseno dos dois lados, eu tenho que saber se estou pegando o ângulo correto. A gente não quer que esse argumento do cosseno aqui nos dê esse ponto; a gente quer esse. Portanto, eu tenho que ter o ângulo correto. Para isso, eu vou desenhar aqui o nosso círculo trigonométrico. Eu não vou apenas aplicar de maneira cega o cosseno... a inversa do cosseno, né? Eu sempre gosto de fazer, para isso, o círculo trigonométrico. Então, aqui, eu vou ter o meu círculo trigonométrico. Olha só! Aqui vai ficar mais ou menos assim, beleza? É um círculo que tem raio 1, e está centralizado na origem. E o dia 7 de janeiro, que é esse ponto aqui, ele será esse ponto aqui. E, portanto, nesse ponto aqui, a gente vai estar no verão. E, conforme o tempo passa, o nosso ângulo cresce. Nesse ponto aqui, nós vamos ter o quê? O outono. Então, aqui vai ser o outono. E, do outono, a gente vem para cá; aqui será o inverno, certo? Aqui, o inverno. E, finalmente, a gente vai para a primavera, que vai ser esse ponto aqui. Então, aqui, vai ser a primavera. E o que a gente quer é um ângulo cujo cosseno é "-0,2". Aqui, vai ser -1. E o "-0,2", ele vai estar a 1/5 do caminho; vai está por aqui assim, "-0,2". Agora, perceba: há dois ângulos... esse aqui (esse ângulo aqui) e esse aqui também... repare só, se eu desenhar aqui o pontilhado... esse ângulo também tem um cosseno de "-0,2", que vai ser esse ângulo aqui, certo? Ou ainda uma outra maneira de pensar sobre isso: você poderia vir no sentido contrário para esse ângulo e, se quiser retornar para esse mesmo ponto, você soma com 2π. E, aí, qual dos dois nós queremos? É claro que é esse aqui, na primavera. Mas, se nós, de maneira bem cega, aplicássemos o inverso do cosseno, ele nos daria esse ângulo aqui. A gente pode até verificar isso na calculadora. Olha só. Eu quero calcular o cosseno inverso de "-0,2". Olha aí. Lembre-se de que aqui é 0π radiano; aqui vai ser π, que é "3,14"; e, portanto, aqui vai ser o ponto "1,77". É ou não é? "1,77" é um pouquinho mais que a metade do π, então, é exatamente esse ponto aqui. Então, esse ângulo é, aproximadamente, "1,77" radiano. Mas nós não queremos esse, queremos esse aqui. E como é que a gente vai fazer isso então? Pois bem, a gente poderia dar uma volta completa aqui de 2π radianos, e depois subtrair "1,77". Então, esse ângulo aqui, seria de "2π - 1,77". Então, vamos fazer isso. Vou pegar calculadora, eu quero fazer 2π (então, 2 vezes o π) menos a nossa resposta anterior, que foi "1,77". Então, eu vou na segunda opção aqui, que vai nos dar menos a resposta anterior; e isso vai nos dar uma boa precisão pelo número de casas decimais. Isso vai dar igual, então, a "4,511". Será que esse valor aqui é o correto? Vamos ver. Aqui é π, que é "3,14" aproximadamente; e aqui é 2π... 2 vezes "3,14"... "6,28". E, então, aqui vai estar o "4,511", sim. Então, esse ângulo aqui é o ângulo correto. Só que nós ainda não terminamos. Isso aqui não é a resposta; é apenas o argumento para o cosseno aqui dentro. E, portanto, o que estou fazendo é que isso aqui dentro tem que ser igual a "4,511". Vamos fazer aqui embaixo. Eu vou ter, então, que 2π/365 vezes a quantidade de dias, isso vai ser igual a "4,511". E, agora, a gente vai calcular o valor do "d". Para fazer isso, eu vou multiplicar pelo recíproco desse coeficiente (então, multiplicando aqui por 365/2π; do outro lado, a mesma coisa, vezes 365/2π), isso aqui vai simplificar, e eu vou usar a calculadora para descobrir esse valor aqui. Portanto, vamos pegar a nossa resposta anterior, que vai nos dar uma precisão boa... então, vai ser a resposta anterior vezes 365 dividido por 2π. E isso vai dar igual a 262 dias. Vamos fazer aqui o arredondamento para o número inteiro mais próximo. E, portanto, a resposta aqui vai ser 262 dias após o dia 7 de janeiro. E, assim, nós concluímos. Nos vemos no próximo vídeo!