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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 2
Lição 6: Resolução de triângulos geraisProblema de trigonometria: estrelas
Neste vídeo, resolvemos um problema sobre a distância entre as estrelas usando a lei dos cossenos. Versão original criada por Sal Khan.
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- Tem alguma forma de fazer essas contas sem o uso da calculadora?(2 votos)
- Existe, porém o cálculo do cosseno sem uma calculadora acaba se tornando extremamente complicado. Seria através de partições do triangulo original e através da utilização de várias outras expressões. Infelizmente não há como desenhar para dar a sua resposta de forma coerente.(7 votos)
Transcrição de vídeo
RKA2JV - Carla quer saber
a largura do Cinturão de Órion, que é um padrão estelar
na constelação de Órion. Ela descobriu previamente
as distâncias da casa dela até Alnitak,
que é de 736 anos-luz, e Mintaka (915 anos-luz), que são
os extremos do Cinturão de Órion. Ela também sabe que o ângulo entre
essas estrelas no céu é de 3 graus. Qual é a largura
do Cinturão de Órion? Ou seja, qual é a distância
entre Alnitak e Mintaka? E a resposta tem que
ser dada em anos-luz, para o ano-luz
mais próximo. Então, digamos que este ponto aqui,
que eu vou chamar de "casa", seja a casa
da Carla. E digamos que este outro ponto
aqui seja a estrela Alnitak. Alnitak, beleza? Além disso, este outro
ponto aqui, assim, seja da
estrela Mintaka. Aqui vai
estar Mintaka. E o que nós sabemos do problema,
aqui do enunciado, é o seguinte: nós sabemos que esta
distância, de Alnitak até a casa da Carla,
esta distância aqui, é de quanto? Ora, 736 anos-luz. Todas as medidas
que eu colocar aqui nesse triângulo que vai ser
formado vão estar em anos-luz. Nós sabemos também que a distância
de Mintaka até a casa da Carla, essa distância que
vai daqui até aqui, esta distância vai
ser de 915 anos-luz. E o que eu estou
querendo saber aqui? Estou querendo
saber a distância entre estas duas estrelas,
Alnitak e Mintaka. Esta distância que
está em amarelo. E o que ele nos dá como dado
para descobrir essa distância? Ele nos dá o ângulo formado
entre estas duas estrelas no céu. Ou seja, quando
a Carla olha para o céu, ela vê estas estrelas
em um ângulo de 3 graus. Este ângulo aqui,
portanto, mede 3 graus. E eu quero saber qual é esta distância,
vou chamar isto de "x". Quanto vai ser
o valor de "x"? Ora, para descobrir
o valor de "x", já que eu tenho dois lados
de um triângulo que foram dados e o ângulo entre esses dois lados
também me foi dado, vou usar o quê? A lei dos cossenos. E o que é a lei
dos cossenos? A lei dos cossenos me diz que
c² é igual a a² + b², menos 2 vezes ab, vezes o cosseno
de um ângulo θ. E aqui é o seguinte:
qual vai ser o nosso "c"? O "c" é sempre o lado que está
oposto ao ângulo que foi dado. Então, o lado oposto
aqui vai ser "x". Portanto, escrevendo isso,
a gente vai ter aqui: x² igual a a², o "a" pode ser qualquer um
dos dois lados aqui, portanto, eu vou dizer
que vai ser 736. Escrevendo isso
na fórmula, 736². Mais o valor de
"b" ao quadrado. E "b", aqui no caso,
vai valer 915. 915². Menos 2 vezes ab, ou seja,
2 vezes o valor de "a", que é 736, vezes o valor de "b",
que é 915. Tudo isso multiplicado, ainda,
pelo cosseno do ângulo de 3 graus. Nosso ângulo θ vale 3. Então, cos 3 graus. E quanto vai dar
isto aqui, então? É o seguinte, vou fazer
um "Ctrl+C e Ctrl+V" para facilitar a minha vida,
para não ter que escrever tudo de novo. Então, vou copiar aqui. Selecionei, "Ctrl+C", "Ctrl+V". Prontinho. Isto aqui, então, eu vou ter que
o valor do "x" vai ser o quê? Vai ser a raiz quadrada
disso tudo. Quando eu extrair a raiz quadrada
em ambos os lados desta equação, eu vou ter que "x" vai ser a raiz
quadrada disso aqui tudo. É ou não é? E, para resolver esta raiz quadrada aqui,
eu vou usar a calculadora. Vamos lá, vou
pegar a calculadora. Deixe-me ter certeza que esta
calculadora está no modo de graus. Em graus, porque a gente está
usando graus ali, em vez de radianos. Vamos calcular. Eu quero saber, então, qual é
a raiz quadrada daquilo ali tudo. Então, raiz quadrada de 736², mais, ops,
dividido não. Aqui eu quero "mais". Mais 915², menos 2 vezes
736 vezes 915, tudo isso, ainda, multiplicado pelo
cosseno do ângulo de 3 graus. Então, cos(3).
Vou botar aqui assim. Beleza. A gente merece aqui, agora,
que rufem os tambores, pois vamos apertar o "Enter"
e ver quanto isto vai dar. Olha aí.
Resultado: 184. Como ele quer que a gente aproxime
para o ano-luz mais próximo, está aqui: "arredonde sua resposta
para o ano-luz mais próximo", então, isto vai dar
184 anos-luz aproximadamente. Ou seja, eu posso escrever
aqui que o "x" vai ser, aproximadamente,
184 anos-luz. Certo? Esta é a resposta
do nosso problema. E aí você
percebe o seguinte: para calcular distâncias
astronômicas no céu, a trigonometria
é bastante útil. Beleza? Então é isso.
Até os próximos vídeos!