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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 2
Lição 1: Valores trigonométricos de ângulos notáveis no primeiro quadranteCosseno, seno e tangente de π/6 e π/3
Com o círculo trigonométrico e o teorema de Pitágoras, podemos calcular os valores exatos do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos π/6 e π/3. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA20JL - E aí, pessoal,
tudo bem? Nesta aula, vamos aprender o seno, o cosseno e a
tangente de dois ângulos fundamentais, que são π/3 e π/6. E claro, se você quiser, você também
pode fazer a conversão de radianos para graus. Basta, por exemplo, você saber que π = 180,
aí, você vai ter 180/3, que vai dar 60, e aqui, no π/6, temos 180/6,
que é a mesma coisa que 30°, e claro, vou calcular isso usando a definição
dessas funções trigonométricas em um círculo unitário. Mas, antes disso, deixa eu relembrar,
com um triângulo que tem 30°, 60° e 90°, ou seja, através de um triângulo, vou conseguir
descobrir essas funções trigonométricas. Este aqui vai ser o ângulo reto,
o ângulo de 90°, e vamos dizer que este aqui seja
π/3, que é o de 60°, e este aqui,
o π/6, que é 30° e, claro, supondo que isso aqui
seja o raio de um círculo unitário, a nossa hipotenusa
vai ser igual a 1. E, para nos ajudar, quais são
os outros lados? O que eu vou fazer aqui é refletir
este triângulo sobre esse lado e, aí, vou ficar
com algo mais ou menos assim. E claro, por causa dessa reflexão,
temos algumas informações importantes, como, por exemplo, que este
lado aqui é igual a este e esta aqui vai ser a hipotenusa do triângulo
que eu refletir (então, vai ser igual a 1), e esse ângulo é π/6 e, consequentemente,
este outro é π/3. E note que, se juntarmos os dois triângulos,
temos esse triângulo maior aqui. E o que
sabemos dele? Sabemos que ele é
um triângulo equilátero. Note que todos os ângulos internos
são iguais a π/3; π/3 aqui, π/3 aqui e, se você
somar π/6 com π/6, vai ser a mesma
coisa que π/3. Ou seja, um triângulo com os três
ângulos internos iguais a 60°. Além disso, em um triângulo equilátero,
todos os lados são iguais. Ou seja, todos os comprimentos, neste
caso, são iguais a 1. E como esses dois
lados menores são iguais, isso significa que eles dividem o
segmento em duas metades iguais. Ou seja, essa metade é igual a ½
e esta aqui, também. E saber isso é útil para descobrir
este comprimento aqui. Isso porque temos dois triângulos
retângulos aqui e podemos utilizar qualquer um, mas podemos
utilizar o de baixo e aplicar o teorema de Pitágoras e, aí, vamos ter que
(½)² + b² = hipotenusa². Então, 1². E resolvendo isso, vamos ficar com
¼ + b² = 1 e subtraindo ambos os membros desta
igualdade por ¼, vamos ficar com b² = ¾. E extraindo a raiz quadrada em ambos os
membros desta igualdade, vamos ficar com b = √3/2. Pronto, descobrimos este lado
aqui do triângulo, que é b = √3/2. E, como eu disse, isso vai ser útil para
calcular essas funções trigonométricas aqui. Tá, eu vou colocar dois círculos
trigonométricos aqui, onde vou calcular as funções
trigonométricas de cada um desses ângulos. Primeiro, vamos colocar
o ângulo π/3 no círculo e vamos ver que é mais ou menos aqui
(lembrando que é uma abertura de 60°), então, esse
aqui é π/3. O seno e o cosseno podem ser calculados
pelas coordenadas x e y do ponto, que é a interseção entre o raio e o
círculo trigonométrico. Então, esse ponto é o
cosseno de π/3 e o seno de π/3. Tá, se você não entendeu isso, deixa eu fechar um
triângulo retângulo aqui, com os ângulos 30°, 60° e 90°. Esse aqui vai ser um ângulo reto e esse
aqui vai ser 30°, ou π/6. E é aí que entra o triângulo
que desenhamos. Vai ser algo
parecido com isso aqui: a coordenada x vai ser o
cosseno do ângulo adjacente, ou seja, esse
comprimento aqui. E, como sabemos
desse triângulo, quando a hipotenusa é 1,
o lado oposto a π/6 = ½, ou seja, esse
comprimento é igual a ½. Portanto,
cos π/3 = ½. Ou seja, é a coordenada x do ponto de
interseção entre esse raio e o círculo unitário. Então, cos π/3 = ½.
Esta coordenada aqui. Tá, e sen π/3,
onde vai estar? É a coordenada y, que tem
o mesmo comprimento que esse lado aqui do triângulo,
e que é igual a b, que é √3/2. Ou seja,
sen π/3 (ou 60°) = √3/2. E claro que é importante você decorar
essas relações trigonométricas, mas também é importante saber de onde
elas vêm, caso você se esqueça, né? E claro, se você quiser memorizar,
essas duas aqui são as principais, porque é muito mais
fácil descobrir a tangente. Lembrando que, para descobrir a tangente,
dividimos o seno pelo cosseno. Deixe-me
colocar isso aqui. Bem, a tangente de π/3 vai ser
igual ao seno, que é √3/2, e dividimos isso pelo cosseno, que é ½,
e para fazer uma divisão de fração, repetimos a fração de cima e multiplicamos
invertendo a segunda e quando fazemos isso,
encontramos √3. Para finalizar, vamos utilizar a mesma lógica
para encontrar sen, cos e tg 30°. Claro, sugiro que você pause o vídeo e
tente resolver isso sozinho. A primeira coisa que você tem que fazer
é construir esse ângulo de 30°, mais ou menos assim, e que podemos
colocar em radianos, ou seja, π/6, e, de novo, construímos um
triângulo retângulo formando esse ângulo reto, e a hipotenusa
dele é igual a 1. E como esse ângulo é igual a
π/6, e este aqui é igual a 90° e baseado nesse triângulo, sabemos
que esse ângulo é π/3. Ou seja, é esse mesmo
triângulo em azul aqui. Por causa disso, já conhecemos esse lado,
que é ½, e esse aqui é igual a b, que é √3/2. Isso é bastante útil para encontrar
as coordenadas desse ponto aqui. Ou seja, a coordenada x
desse ponto, que é a interseção entre a hipotenusa
e o círculo unitário, e que é igual a √3/2. E a coordenada
y = ½. E esses são os valores
do cosseno e do seno de π/6. Ou seja, cos π/6 = √3/2 e
sen π/6 = ½. Tá, e qual vai ser
a tangente de π/6? Vai ser a medida
do seno, que é ½, dividida pelo cosseno,
que é √3/2. De novo, repetimos a fração de cima e
multiplicamos pelo inverso da de baixo. E podemos cancelar esse 2 com esse
aqui, ficando com tg π/6 = 1/√3. E você ainda pode racionalizar isso multiplicando
tanto numerador quanto denominador pela √3, E aí vai ficar
com √3/3. Espero que esta aula tenha ajudado,
e até a próxima, pessoal!