Identidades de tangente: simetria

RKA- No vídeo anterior, a gente explorou a relação entre os senos, os cossenos destes ângulos formados a partir dos raios terminais e que foram refletidos nos eixos "x" e "y", ou em ambos eixos. O que eu quero fazer neste vídeo hoje é analisar a tangente destes diferentes ângulos. Então, vamos começar lembrando que a tangente de Θ é igual ao seno de Θ sobre o cosseno de Θ. O que, pela definição do círculo unitário, basicamente, o que eu quero dizer é qual foi a inclinação deste raio aqui da direita? Vale lembrar que a inclinação é o aumento em relação à trajetória percorrida, ou seja, o que queremos saber é qual foi a variação neste eixo vertical aqui (neste eixo aqui) e a variação no nosso eixo horizontal aqui. Qual foi essa variação sobre o eixo vertical e o eixo horizontal? Se começarmos da origem, a variação que ocorreu no eixo vertical vai de zero até o seno de Θ. Esta é a variação que ocorreu no eixo "y". E, se olharmos para o eixo horizontal, a variação também vai de zero até o cosseno de Θ. Esta é a variação que ocorreu no eixo "x". Então, podemos dizer que o seno de Θ é a variação que ocorreu no eixo "y" sobre o cosseno de Θ, que é a variação que ocorreu no eixo "x". Então, tangente de Θ é igual seno de Θ sobre cosseno de Θ, que é a inclinação deste raio aqui (este raio verde que a gente acabou de analisar). Agora, eu quero saber: qual seria outro ângulo que vai ter exatamente a mesma tangente de Θ? A gente vai analisar e vai perceber que este raio aqui é colinear àquele verde que a gente acabou de desenhar. Se nós colocarmos um do lado do outro, eles estarão sobre a mesma linha, eles são colineares, eles vão estar sobre a mesma linha. Então, eu posso dizer que este ângulo aqui, esta volta grandona aqui que a gente fez neste rosa mais escurecido, este ângulo, então, que a gente pode chamar de “π + Θ” ou “Θ + π”, a gente vai dizer que a tangente deste ângulo, a tangente de “Θ + π”, usando este argumento do declive (da inclinação), que ele é igual à tangente de Θ. Agora, a gente tem que verificar. Será que realmente esta afirmação é verdadeira? Como a gente pode observar e verificar se esta afirmação aqui realmente é verdade? Bom, se esta afirmação for verdadeira, a gente tem que estar de acordo de que a tangente de um ângulo é igual a do raio terminal. É claro que o outro lado do ângulo estará na parte positiva do eixo "x" de acordo com o que a gente definiu. Vamos ver agora o que significa a tangente de “Θ + π” em termos de seno e cosseno. Vamos lá, vamos observar. O que a gente definiu é que tangente de “Θ + π”... (vamos colocar parênteses aqui só para a gente evitar ambiguidade)... é igual a seno de “Θ + π” sobre cosseno de “Θ + π”. Mas a gente definiu no vídeo anterior que seno de “Θ + π” é igual a menos seno de Θ; então, seno de “Θ + π”, a gente pode dizer que é menos seno de Θ; e cosseno de “Θ + π” ou “π + Θ” é igual a menos cosseno de Θ, E, aí, a gente sabe que estes dois sinais negativos vão se anular e, aí, vai sobrar seno sobre cosseno que é igual à tangente de Θ. Então, realmente, esta afirmação aqui, de fato, é verdade. Em relação a estes dois pontos aqui, destes raios finais aqui (este aqui e deste aqui), vamos observar, vamos começar por este ponto aqui. Bom, a gente pode afirmar que a tangente de -Θ é igual a seno de -Θ sobre o cosseno de -Θ. A gente sabe que o seno de -Θ é igual a menos seno de Θ. Se a gente olhar aqui para o círculo trigonométrico, um está oposto [ao outro]; aqui é o seno de Θ, e aqui é o seno de -Θ. Como eles estão em oposição, a gente diz que seno de -Θ é igual a menos o seno de Θ; já o cosseno de -Θ recai sobre o mesmo ponto no eixo "x" que o cosseno de Θ (eles estão sobre o mesmo ponto). Então, a gente diz que o cosseno de -Θ é igual ao cosseno de Θ. O que a gente pode definir é que tangente de -Θ é igual a menos o seno de Θ sobre o cosseno de Θ, o que nos dá aqui que isso é igual a menos tangente de Θ. Então, tangente de -Θ é igual a menos tangente de Θ. O que a gente pode verificar, então, quando a gente pega o valor negativo do ângulo, [é que] a tangente de menos o ângulo (do valor negativo) é igual a menos a tangente do ângulo. A gente viu que isso ocorre porque houve a mudança de sinal aqui no numerador, mas no denominador não aconteceu a mesma coisa. Então, a gente ficou com tangente de -Θ igual a menos tangente de Θ. Sobre este ângulo aqui, vamos observar que este ângulo, em relação ao Θ, ele vale “π - Θ”. Olha só! Em relação ao ângulo Θ, este ângulo aqui tem o valor de “π - Θ”. O que a gente vai notar é que tangente de “π - Θ” é igual a seno de “π - Θ” sobre cosseno de "π - Θ"; e a gente deixou isso definido no vídeo anterior, né? No vídeo anterior, nós definimos que seno de “π - Θ” é igual a seno de Θ; e a gente pode ver que recai, exatamente, sobre o mesmo ponto no eixo "y", então eles têm o mesmo valor: seno de “π - Θ” é igual ao seno de Θ. Já o cosseno de “π - Θ” está oposto ao cosseno de Θ. Olha só! Eles têm valores opostos. Então, a gente diz que cosseno de “π - Θ” é igual a menos cosseno de Θ. E isso nos dá que a tangente de “π - Θ” é igual a menos tangente de Θ. O que faz sentido, né? Porque, se nós observarmos, estes dois raios aqui possuem a mesma inclinação e estão sobre a mesma reta. Então, esta é, realmente, o valor de menos a tangente de Θ. Se notarmos, estas duas retas aqui, quando nós combinamos as duas, elas se interceptam no eixo "x" e é como se tivesse um espelho neste eixo "x" aqui e elas se espelham no reflexo. Então, vemos que, se nós adicionarmos π a um ângulo, você terá a mesma tangente, porque não vai haver inclinação desta reta aqui. Apesar de a gente ter os raios indo em direções opostas, eles possuem o mesmo sentido; o sentido não mudou, a inclinação será a mesma. E, assim, a tangente de Θ é igual à tangente de “Θ + π”. Tangente de Θ igual à tangente de “Θ + π”. Mas, se você tem um ângulo negativo (se você toma o valor negativo deste ângulo) ou, então, como aqui, você pega π menos o ângulo, você vai obter o valor negativo da tangente, a sua tangente com um valor negativo. Bom, esperamos que isso faça sentido para você porque é muito útil trabalhar com problemas trigonométricos para tentar encontrar ou provar identidades, que foi o que a gente fez hoje (a gente provou algumas identidades trigonométricas), e é muito importante pensar nestas simetrias dentro do círculo unitário, dentro do círculo trigonométrico. Até o próximo vídeo!