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Uso de identidades trigonométricas de soma de ângulos: manipulação de expressões

Transcrição de vídeo

RKA - Cosseno de 2 teta (θ) é igual a "C". E θ é um ângulo que está entre zero e pi (π). O que eu quero é escrever uma fórmula para seno de θ em função de C. Antes de nós trabalharmos com este exercício, proponho que você pause o vídeo e tente fazer sozinho. Bom, supondo que você já fez isso, vamos ver o que a gente pode fazer aqui. Então olha só, eu cortei o enunciado da pergunta, colei bem aqui e agora a gente vai trabalhar aqui para poder resolver este exercício, né? Bom, primeiro diz que cosseno de θ = C, eu vou escrever isso primeiro de tudo, que C = cosseno de 2θ. A gente sabe qual é a soma do cosseno de dois ângulos, por exemplo, o cosseno de alfa + beta (α + β). O cosseno de α + β, né? O que eu posso dizer? Eu sei que cosseno de α + β, cosseno de dois ângulos, é igual ao cos.α vezes cos.β - o sen.α vezes sen.β. Esta é a fórmula que a gente já estudou em relação ao cosseno da soma de dois ângulos, né? Cosseno de α + β: cos.α vezes cos.β - sen.α vezes sen.β. E aí por que esta identidade seria útil para a gente aqui? Bom, talvez porque eu consiga escrever 2θ como sendo θ + θ. E aí eu vou escrever tudo isto em função de cosseno e seno, depois eu escrevo cosseno em função de seno, e todo mundo em função de seno. Vamos tentar, então, né? Eu posso escrever como sendo cosseno de (θ + θ), então este é igual a cosseno de (θ + θ). Obviamente que isso é a mesma coisa que cosseno de 2θ. Aí, cosseno de (θ + θ), eu posso escrever como sendo: cos.θ vezes cos.θ - sen.θ vezes sen.θ. Foi o que a gente viu na identidade aqui em cima, né? Vezes seno de θ. Cos.θ vezes cos.θ = cos².θ menos... sen.θ vezes sen.θ, eu sei que é sen².θ. Bom, então a gente já conseguiu escrever cosseno de 2θ em função de cosseno e seno. Agora eu quero passar todo mundo para seno. Vamos ver o que eu posso fazer. O que pode facilitar nossa vida é reescrever cos².θ através da identidade pitagórica que a gente já estudou, lembra? A identidade pitagórica diz que cos².θ + sen²θ = 1. A gente pode subtrair sen².θ de ambos os membros desta equação aqui. E aí a gente vai ter que: cos².θ = 1 - sen².θ. E podemos colocar isto aqui em relação ao cos².θ. Podemos dizer que cos².θ = 1 - sen².θ, tudo isto menos o sen².θ, que já está ali, continuação da identidade que a gente achou. Isto tudo, a gente tem que lembrar que é igual a C. Então C, eu posso dizer que é igual a 1, e aí "- sen².θ - sen².θ", a gente pode dizer que é "- 2 vezes sen².θ". E desta relação aqui, a gente tem que tirar o valor de seno de θ. Vamos multiplicar por - 1 os dois lados da equação para mudar a ordem disto aqui. Então a gente fica que - C = 2 sen².θ - 1. Bem, isto é o que temos quando multiplicamos por - 1. Vamos agora somar 1 a ambos os lados aqui. Então teremos que: 1 - C = 2 sen².θ. E se dividirmos ambos os lados por 2, a gente consegue ver o valor de seno de θ. Se sen².θ = (1 - C) sobre 2, podemos dizer que seno de θ é igual a mais ou menos a raiz quadrada de (1 - C) sobre 2. Agora, o que queremos saber é: será que ambos os sinais vão servir para este problema? Será que nosso seno de θ vai ser só positivo ou só negativo? Será que no próprio enunciado ele já não deixou informações suficientes para que a gente escolha um dos sinais ou ambos os sinais? Então eu proponho que você observe as informações dadas pelo exercício e tente fazer sozinho. Supondo que você tenha feito isso, o que a gente sabe é que o ângulo θ é um ângulo que está entre zero e π. Então relembrando o nosso círculo unitário, o ângulo zero vai ser este ângulo bem aqui da direita, e o ângulo π é todo este contorno até aqui, até aqui o ângulo π. Se ele está aqui, com certeza o nosso ângulo θ é um ângulo que pode estar no primeiro ou no segundo quadrante. Então poderia ser este, poderia ser este, um tipo como este não poderia ser, né? Então a gente sabe que, certamente, ele vai ser um ângulo θ, que vai estar aqui, e o seno de qualquer deste ângulo que esteja no primeiro ou no segundo quadrante está sobre a coordenada "y", ou seja, ele é positivo. Se é positivo, podemos dizer que o seno de θ vai ter um valor positivo, vai ser igual a raiz positiva ou "+ a raiz quadrada de (1 - C) sobre 2". E agora sabendo que o valor de seno de θ é o valor positivo da raiz quadrada de (1 - C) sobre 2, vamos voltar na plataforma para responder nossa pergunta. Então vamos lá digitar nossa resposta, lembrando que na raiz, ele pede para digitar o símbolo "sqrt", então nosso seno de θ vale: raiz quadrada de (1 - C), tudo isso sobre 2. Vamos verificar nossa resposta. Correta. Até o próximo vídeo.