Uso da identidade da tangente da soma de ângulos

RKA12MC – E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos tentar calcular a tangente de 13π/12 sem utilizar calculadora, ou seja, vamos fazer algumas manipulações algébricas de modo que isso seja possível. Por exemplo, vamos reescrever a tangente de 13π/12 como a tangente de “15π/12 - 2π/12”, e isso é a mesma coisa que a tangente de 5π/4 menos a tangente de π/6. Ou seja, nós simplificamos os valores. E, claro, podemos reescrever isso como uma soma. Então, deixe-me apagar aqui e colocar "+(-π/6)". Essa manipulação eu acredito que já vá te ajudar bastante, e eu sugiro que você pause o vídeo e tente calcular a tangente de 13π/12 sem utilizar calculadora. Vamos lá então! Já aprendemos a calcular em outros vídeos a tangente dessa soma, e sabemos que isso é igual à tangente do primeiro termo, que é 5π/4, mais a tangente do segundo termo, que é -π/6, e dividimos isso por 1 menos a tangente do primeiro termo, que é 5π/4, vezes a tangente do segundo termo, que é -π/6. E podemos utilizar um círculo unitário para descobrir essas coisas, e eu coloquei dois círculos aqui. E, primeiramente, vamos pensar a respeito de 5π/4. π/4 é 45 graus, é mais ou menos aqui. E eu acredito que você já esteja familiarizado com isso. E, seguindo com essa mesma medida, 2π/4 vai estar aqui; 3π/4, aqui; 4π/4, aqui; e 5π/4, aqui. E, se você não se lembra, é importante associar a tangente de um ângulo como a inclinação do raio, por isso, intuitivamente, já sabemos que essa tangente vai ser 1. Mas, se você não se lembra disso, podemos utilizar triângulos aqui para ficar mais fácil de entender. Bem, o que precisamos saber são as coordenadas desse ponto aqui, e, para isso, podemos fechar um triângulo retângulo aqui, no qual rapidamente você consegue ver que os ângulos dele são 45, 45 e 90. E como eu sei disso? Simples, daqui até aqui, nós andamos 4π/4, correto? E ainda tem um π/4 aqui. Ou seja, esse ângulo é o π/4, que é a mesma coisa que 45 graus. E, claro, se aqui tem 45 e aqui tem 90, esse aqui, necessariamente, tem que ser igual a 45 graus, porque, lembre-se, a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus. E esse é um triângulo bastante conhecido. Por causa disso, sabemos que a hipotenusa é igual a 1, e, quando utilizamos o teorema de Pitágoras, vamos ter que esse lado aqui é igual à raiz quadrada de 2 sobre 2, e esse outro aqui também. E, se pensarmos nas coordenadas, a nossa coordenada “x” vai ser raiz quadrada de 2 sobre 2 na direção negativa, ou seja, menos a raiz quadrada de 2 sobre 2, e a coordenada “y” vai ser a raiz quadrada de 2 sobre 2 na direção negativa, ou seja, menos a raiz quadrada de 2 sobre 2. E a tangente é a divisão da coordenada “y” pela coordenada “x”, ou seja, menos a raiz quadrada de 2 sobre 2 dividido por menos a raiz quadrada de 2 sobre 2, que vai ser igual a 1, que era o que tínhamos falado lá no início. E quanto a π/6? Onde [ele] está no círculo trigonométrico? Se você pegar 180 graus e dividir por 6, você vai ter 30 graus, correto? Então, π/6 é o mesmo que 30 graus. Mas, como queremos saber -π/6, vamos ter esse ângulo aqui. Ou seja, esse ângulo aqui é 30 graus. E, se fecharmos um triângulo retângulo aqui, vamos ter um triângulo com 90, 30 e 60 graus. E, de novo, como a hipotenusa é 1, se aplicarmos o teorema de Pitágoras nesse triângulo que é bastante conhecido, vamos ter que o cateto oposto a 30 graus vai ser igual a 1/2 e o cateto adjacente vai ser igual à raiz de 3 sobre 2. E quais vão ser as coordenadas desse ponto? Bem, vamos ter a raiz quadrada de 3 sobre 2 na direção positiva do “x”, e 1/2 na direção negativa do “y”, ou seja, -1/2. E, com isso em mente, qual vai ser a tangente de -π/6? Como sabemos, calculamos a tangente sempre pegando a coordenada “y”, que nesse caso é -1/2, e dividimos pela coordenada “x”, que é raiz quadrada de 3 sobre 2. E isso é a mesma coisa que repetir a primeira fração, que é -1/2, e multiplicar invertendo a fração de baixo, que é a mesma coisa que 2 sobre raiz de 3. E podemos cancelar esse 2 com esse aqui, ficando com -1 sobre a raiz quadrada de 3. E ainda podemos racionalizar isso aqui, multiplicando tanto o numerador quanto o denominador da fração pela raiz quadrada de 3. E, aí, vamos ficar com -1 vezes a raiz quadrada de 3, que vai ser menos a raiz quadrada de 3; e a raiz quadrada de 3 vezes a raiz quadrada de 3 vai ser igual à raiz quadrada de 9, que é igual a 3. Agora sim, substituindo na nossa expressão, sabemos que a tangente de 5π/4 é igual a 1. Então, aqui é 1, e aqui também. E a tangente de -π/6 é igual a menos a raiz quadrada de 3 sobre 3, ou seja, aqui vai ser menos a raiz quadrada de 3 sobre 3, e aqui também. E, ajeitando isso, vamos ficar com 1 menos a raiz quadrada de 3 sobre 3 dividido por 1 menos menos a raiz quadrada de 3 sobre 3, e que é igual a 1 menos a raiz quadrada de 3 sobre 3 dividido por 1 mais a raiz quadrada de 3 sobre 3. E 1 menos a raiz quadrada de 3 sobre 3 vai ser igual a 3 menos a raiz quadrada de 3 sobre 3, e dividimos isso por 1 mais a raiz quadrada de 3 sobre 3, que é a mesma coisa que 3 mais a raiz quadrada de 3 sobre 3. E podemos cancelar esse 3 aqui com esse aqui, e, aí, vamos ficar com 3 menos a raiz quadrada de 3 dividido por 3 mais a raiz quadrada de 3. Pronto, finalmente, encontramos a tangente de 13π/12. E eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!