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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 2
Lição 10: Uso de identidades trigonométricas- Cálculo de valores trigonométricos a partir de identidades de soma de ângulos
- Uso da identidade da tangente da soma de ângulos
- Calcule valores trigonométricos a partir de identidades de soma de ângulos
- Uso de identidades trigonométricas de soma de ângulos: cálculo das medidas dos lados
- Uso de identidades trigonométricas de soma de ângulos: manipulação de expressões
- Uso de identidades trigonométricas
- Referência de identidade trigonométrica
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Uso da identidade da tangente da soma de ângulos
Calcule a tangente de 13pi/12 sem a ajuda de uma calculadora usando a identidade da tangente da soma de ângulos. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA12MC – E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos tentar calcular a tangente
de 13π/12 sem utilizar calculadora, ou seja, vamos fazer algumas
manipulações algébricas de modo que isso seja possível. Por exemplo, vamos reescrever
a tangente de 13π/12 como a tangente de “15π/12 - 2π/12”, e isso é a mesma coisa que a tangente
de 5π/4 menos a tangente de π/6. Ou seja, nós simplificamos os valores. E, claro, podemos reescrever
isso como uma soma. Então, deixe-me apagar
aqui e colocar "+(-π/6)". Essa manipulação eu acredito
que já vá te ajudar bastante, e eu sugiro que você pause o vídeo e tente calcular a tangente de 13π/12
sem utilizar calculadora. Vamos lá então! Já aprendemos a calcular em outros
vídeos a tangente dessa soma, e sabemos que isso é igual à tangente
do primeiro termo, que é 5π/4, mais a tangente do
segundo termo, que é -π/6, e dividimos isso por 1 menos a
tangente do primeiro termo, que é 5π/4, vezes a tangente do
segundo termo, que é -π/6. E podemos utilizar um círculo unitário
para descobrir essas coisas, e eu coloquei dois círculos aqui. E, primeiramente, vamos
pensar a respeito de 5π/4. π/4 é 45 graus,
é mais ou menos aqui. E eu acredito que você já
esteja familiarizado com isso. E, seguindo com essa mesma medida, 2π/4 vai estar aqui;
3π/4, aqui; 4π/4, aqui;
e 5π/4, aqui. E, se você não se lembra, é importante
associar a tangente de um ângulo como a inclinação do raio, por isso, intuitivamente, já
sabemos que essa tangente vai ser 1. Mas, se você não se lembra disso, podemos utilizar triângulos aqui
para ficar mais fácil de entender. Bem, o que precisamos saber são
as coordenadas desse ponto aqui, e, para isso, podemos fechar
um triângulo retângulo aqui, no qual rapidamente você consegue
ver que os ângulos dele são 45, 45 e 90. E como eu sei disso? Simples, daqui até aqui,
nós andamos 4π/4, correto? E ainda tem um π/4 aqui. Ou seja, esse ângulo é o π/4,
que é a mesma coisa que 45 graus. E, claro, se aqui tem 45
e aqui tem 90, esse aqui, necessariamente,
tem que ser igual a 45 graus, porque, lembre-se, a soma dos ângulos
internos de um triângulo é igual a 180 graus. E esse é um triângulo
bastante conhecido. Por causa disso, sabemos
que a hipotenusa é igual a 1, e, quando utilizamos
o teorema de Pitágoras, vamos ter que esse lado aqui é
igual à raiz quadrada de 2 sobre 2, e esse outro aqui também. E, se pensarmos nas coordenadas, a nossa coordenada “x” vai ser raiz
quadrada de 2 sobre 2 na direção negativa, ou seja, menos a raiz
quadrada de 2 sobre 2, e a coordenada “y” vai ser a raiz quadrada
de 2 sobre 2 na direção negativa, ou seja, menos a raiz
quadrada de 2 sobre 2. E a tangente é a divisão da
coordenada “y” pela coordenada “x”, ou seja, menos a raiz
quadrada de 2 sobre 2 dividido por menos a raiz
quadrada de 2 sobre 2, que vai ser igual a 1, que era o
que tínhamos falado lá no início. E quanto a π/6? Onde [ele]
está no círculo trigonométrico? Se você pegar 180 graus e dividir por 6,
você vai ter 30 graus, correto? Então, π/6 é o mesmo que 30 graus. Mas, como queremos saber -π/6,
vamos ter esse ângulo aqui. Ou seja, esse ângulo aqui é 30 graus. E, se fecharmos um triângulo retângulo aqui,
vamos ter um triângulo com 90, 30 e 60 graus. E, de novo, como a hipotenusa é 1, se aplicarmos o teorema de Pitágoras
nesse triângulo que é bastante conhecido, vamos ter que o cateto oposto
a 30 graus vai ser igual a 1/2 e o cateto adjacente vai ser
igual à raiz de 3 sobre 2. E quais vão ser as
coordenadas desse ponto? Bem, vamos ter a raiz quadrada de 3
sobre 2 na direção positiva do “x”, e 1/2 na direção negativa
do “y”, ou seja, -1/2. E, com isso em mente,
qual vai ser a tangente de -π/6? Como sabemos, calculamos a tangente
sempre pegando a coordenada “y”, que nesse caso é -1/2, e dividimos pela coordenada “x”,
que é raiz quadrada de 3 sobre 2. E isso é a mesma coisa que
repetir a primeira fração, que é -1/2, e multiplicar invertendo a fração de baixo, que é a mesma coisa
que 2 sobre raiz de 3. E podemos cancelar
esse 2 com esse aqui, ficando com -1 sobre
a raiz quadrada de 3. E ainda podemos
racionalizar isso aqui, multiplicando tanto o numerador
quanto o denominador da fração pela raiz quadrada de 3. E, aí, vamos ficar com -1
vezes a raiz quadrada de 3, que vai ser menos
a raiz quadrada de 3; e a raiz quadrada de 3
vezes a raiz quadrada de 3 vai ser igual à raiz
quadrada de 9, que é igual a 3. Agora sim, substituindo
na nossa expressão, sabemos que a tangente
de 5π/4 é igual a 1. Então, aqui é 1, e aqui também. E a tangente de -π/6 é igual a
menos a raiz quadrada de 3 sobre 3, ou seja, aqui vai ser menos
a raiz quadrada de 3 sobre 3, e aqui também. E, ajeitando isso, vamos ficar com 1
menos a raiz quadrada de 3 sobre 3 dividido por 1 menos menos
a raiz quadrada de 3 sobre 3, e que é igual a 1 menos a
raiz quadrada de 3 sobre 3 dividido por 1 mais a raiz
quadrada de 3 sobre 3. E 1 menos a raiz
quadrada de 3 sobre 3 vai ser igual a 3 menos
a raiz quadrada de 3 sobre 3, e dividimos isso por 1 mais
a raiz quadrada de 3 sobre 3, que é a mesma coisa que 3 mais
a raiz quadrada de 3 sobre 3. E podemos cancelar
esse 3 aqui com esse aqui, e, aí, vamos ficar com 3
menos a raiz quadrada de 3 dividido por 3 mais
a raiz quadrada de 3. Pronto, finalmente, encontramos
a tangente de 13π/12. E eu espero que esta
aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!