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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 6
Lição 7: Componentes vetoriais a partir da magnitude e do sentido- Componentes vetoriais a partir da magnitude e do sentido
- Componentes vetoriais a partir da magnitude e do sentido
- Componentes vetoriais a partir da magnitude e do sentido: problema
- Componentes vetoriais a partir da magnitude e do sentido (avançado)
- Revisão sobre a conversão entre a forma retangular e a forma polar de vetores
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Componentes vetoriais a partir da magnitude e do sentido: problema
Dadas as magnitudes e os sentidos das forças que duas pessoas estão aplicando em uma caixa, calcule a força total que é aplicada no sentido do alvo. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - Imagine que nós
temos aqui uma caixa. Na verdade, é uma mala
sem alça, pesadinha. Ela não pode ser empurrada,
não tem como. Tem apenas um
ganchinho na frente. E duas pessoas querem
levar esta caixa, apesar disso, puxando-a, deslizando
sobre uma superfície lisa, até o ponto que nós vamos
definir, este ponto aqui. Vamos definir
como nosso alvo, o ponto onde as duas pessoas
querem trazer essa caixa, apesar de ser pesada. As pessoas têm cordas,
elas amarram no ganchinho aqui, e uma delas vai puxar
por aqui, vai fazer força. A gente pode definir como um vetor,
que eu vou chamar de vetor "a". Temos, então, vamos
definir o módulo do vetor "a", sua intensidade, o módulo do vetor "a",
igual a 330 newtons. 330 N, muito bem. Não adianta definir apenas o módulo,
se não definir direção e sentido. A gente coloca aqui 35 graus
em relação à distância até o alvo, a linha de distância. A outra pessoa vai puxar também,
no mesmo ponto de aplicação, segundo este vetor. Vou chamar de vetor "b". É uma outra corda, a pessoa
vai exercer uma força. Então, vamos definir
o módulo do vetor "b", veja só: o módulo do vetor "b"
é igual a 300 newtons. É quase tanto quanto a pessoa
do vetor "a", um pouquinho menos, só que agora o ângulo
de aplicação aqui será de 15 graus em relação à direção até o alvo. Muito bem, o vetor
está definido. Agora, como é que
cada pessoa exerce, preciso saber que força cada pessoa
exerce na direção efetiva do alvo, porque cada uma das pessoas
exerce força, também, para as laterais. Mas o que nos interessa, realmente,
é a força, obviamente, na direção do alvo. Como é que nós vamos saber isso? Vamos estabelecer uma referência,
de uma maneira mais simples, como se fosse um eixo X,
uma referência horizontal. Vamos definir aqui, então,
nosso eixo X, um esboço. Vou colocar aqui
o nosso alvo. E, à esquerda, como
se fosse a origem do eixo, vamos colocar
a nossa mala. Muito bem. O vetor "a", vamos fazer
seu esboço aqui, aumentando um pouquinho a escala
para uma melhor compreensão. Este é o vetor "a",
já definido. E já vamos escrever aqui,
caprichando um pouco mais, vamos escrever o módulo
do vetor "a". O módulo do vetor "a", que nós nos
lembramos que é igual a 330 N. Muito bem. Nós queremos
saber que parte, qual é a componente
desses 330 N do vetor "a" que está efetivamente
na direção do alvo. É a sua componente horizontal,
a projeção ortogonal no eixo horizontal. Se é ortogonal, então nós definimos
a projeção aqui em um ângulo de 90° em relação ao eixo horizontal. Esta projeção nós
vamos chamar de aₓ. Isto não é um vetor, ok? É importante definir que aₓ
é apenas o módulo do vetor aₓ. Módulo, então,
do vetor projeção. Módulo é um valor,
vetor é outra coisa. Qual será o valor de aₓ?
É um triângulo retângulo. Nós podemos
usar trigonometria, porque o cosseno que temos, o aₓ,
é cateto adjacente aos 35 graus. Então, cos 35°, cateto adjacente,
que no caso é quem nós queremos saber, o módulo aₓ, dividido pelo valor
da hipotenusa, que vale 330. Cateto adjacente
dividido por hipotenusa. Multiplico ambos
os lados por 330 e inverti aqui os lados
da nossa equação, de modo que temos
aₓ = 330 vezes cos 35. Eu posso fazer isso,
na Física, é muito comum, sempre que eu precisar do cateto
adjacente e tiver o valor da hipotenusa. Muito bem, agora vamos definir,
para o vetor "b", mais uma referência. Também o nosso alvo,
a nossa mala sem alça. E o vetor "b",
onde se encontra? Veja só. O vetor "b", também
aumentando um pouco a escala, para a gente
enxergar melhor. Aqui está o vetor "b",
cujo módulo já vamos definir aqui. Nós nos lembramos,
é legal colocar no esboço. Módulo do vetor "b"
é igual a 300 N. Muito bem. 300 N, e nós vamos,
também, definir o ângulo: 15 graus, a gente já sabe,
é legal colocar no esboço. E para saber aqui o valor da
componente horizontal do vetor "b", componente aplicada na direção do alvo,
uma componente ortogonal. Muito bem, o valor
dessa componente, a gente faz de maneira análoga
ao vetor "a" que já fizemos. Vamos chamar de bₓ,
que é um valor numérico, o valor do módulo
do vetor bₓ, que é a componente do vetor "b"
no eixo horizontal. Da mesma forma, vamos
usar a fórmula do cosseno, porque temos um
cateto adjacente. Sempre que é cateto adjacente
e hipotenusa, usamos o cosseno. Cosseno de 15° é igual: divisão, cateto adjacente,
que é a nossa incógnita, é a componente bₓ. Bem parecido com o que
a gente acabou de fazer. Componente bₓ dividido pelo valor
da hipotenusa, que vale 300 N. Podemos multiplicar
por 300 dos dois lados, sabendo que bₓ será igual a
300 vezes cos 15. Algo que você pode fazer sempre que
você precise de um cateto adjacente, sabe a hipotenusa
e sabe o ângulo, pode multiplicar direto
a hipotenusa pelo valor do cosseno. Vamos usar a calculadora para isso. Podemos determinar o valor
numérico das nossas componentes. Vamos ver se está em graus,
muito bem, isso é importante. Vou posicionar um pouco melhor
para você enxergar aqui. Veja: 330 vezes não precisa do "vezes",
a calculadora já sabe, cosseno de 35 resulta em 270,3. Aproximadamente 270 N,
aplicados na direção desejada. 300 agora,
(bₓ) vezes cos 15 é igual a 289,7. Podemos arredondar para 290. Muito bem.
Então, veja só. Vamos desenhar na direção do alvo,
conforme a gente queria, a componente alinhada
com a direção do alvo. A componente do vetor "a",
cujo valor numérico, vamos escrever
aqui do lado, é 270. 270,3 dá para
arredondar para 270. Então, 270 N.
Muito bem. E agora, a componente
do vetor "b": 289,77. Podemos arredondar para 290. Vamos desenhar essa componente.
Veja que ela é um pouco maior. Apesar da força exercida na
direção do vetor "b" ser menor, a componente em si é maior
do que a do vetor "a". Agora temos aproximadamente
290 N na direção desejada. É isso que nos interessa. Muito bem, veja só que a pessoa
que exerceu força no vetor "b", vamos ver a diferença,
vamos fazer: o valor maior, que é 300 cos 15,
menos 330 cos 35 (força maior na direção do vetor,
porém menor na componente). Temos uma diferença de 19,4. Praticamente 19,5 N
a mais na componente do vetor "b" por causa do ângulo menor, o ângulo
é de 15° apenas, em relação à força. Somando as duas, veja só,
podemos somar os 2 vetores, tendo, então,
o vetor força total. O vetor soma, na direção do alvo,
que é o que interessa para a gente. Queremos levar
a nossa caixa. Então, basta fazer
a adição dos dois. Vamos transformar
agora em adição, só inserindo um sinal de "mais" aqui,
e temos o valor força total, que, na direção do alvo
da nossa caixa, é igual a 560 N,
aproximadamente. Exatamente na direção desejada.