Componentes vetoriais a partir da magnitude e do sentido

RKA1JV - Neste vídeo, nós vamos determinar quais são as componentes de um vetor sendo que a gente já conhece o módulo desse vetor, e o ângulo que esse vetor está fazendo com o eixo horizontal. A gente tem dois vetores aqui, um de módulo igual a 4 e outro de módulo igual a 10. Sendo que o primeiro está fazendo um ângulo de 50 graus com a horizontal e o segundo está fazendo um ângulo igual a 135 graus com a horizontal. Antes de continuar assistindo a este vídeo, como sempre, pause o vídeo e tente fazer isso sozinho. Tente determinar quais são os componentes desses dois vetores aqui. A primeira coisa que nós vamos fazer aqui é representar os componentes desse vetor para a gente fazer uma decomposição vetorial. Tanto no eixo horizontal quanto no eixo vertical. Nós temos inicialmente essa componente aqui na horizontal e depois nós temos essa componente aqui na vertical. E uma forma de determinar os valores destas componentes seria utilizando as funções trigonométricas. Podemos escrever: utilizar as funções trigonométricas. Essa componente horizontal, a gente não sabe quanto que vale, certo? Mas a gente sabe que essa componente vai ter um valor "x". Por outro lado, a componente vertical aqui vai ter um valor "y". A forma de a gente determinar esses dois valores seria utilizando essas funções trigonométricas. E como que a gente pode utilizar essas funções trigonométricas? Na verdade, a gente pode utilizar três delas que é o cosseno, seno e a tangente. Nesse caso aqui, a tangente não é muito útil. Então, vamos utilizar a função cosseno e a função seno. A gente sabe que o cosseno de um ângulo, e nesse caso é 50°, então, teremos o cosseno de 50 graus. Vai ser igual ao cateto adjacente, nesse caso, o cateto adjacente a esse ângulo é esse "x". Então, teremos aqui "x" dividido pela hipotenusa e a hipotenusa, nesse caso, tem um valor igual a 4. Então o cosseno de 50 graus é igual a "x" sobre 4. Como o nosso objetivo é determinar esse "x", eu posso multiplicar por 4 em ambos lados dessa equação. Teremos aqui 4 vezes o cosseno de 50 graus. E isso é igual a "x", já que se eu multiplicar por 4 aqui do lado, eu anulo esse 4. Agora que utilizamos a função cosseno, a gente também pode utilizar a função seno. Vamos lá, seno de 50 graus, ou seja, o seno de um ângulo que, nesse caso, é 50 graus é igual ao cateto oposto, nesse caso, o cateto aposto é esse "y", dividido pela hipotenusa que, como sabemos, a hipotenusa é igual a 4. Podemos fazer a mesma coisa. Multiplicar aqui nesse caso por 4 em ambos os lados e teremos 4 vezes seno de 50 graus. E isso é igual a "y". Ok, agora que já utilizamos essas duas funções trigonométricas, a gente sabe que a componente "x" vai ser igual a 4 vezes o cosseno de 50. E "y" vai ser igual a 4 vezes o seno de 50. Podemos escrever isso aqui embaixo. As componentes desse vetor aqui de módulo 4 vai ser igual a 4 vezes o cosseno de 50 graus e a componente "y" vai ser igual a 4 vezes o seno de 50 graus. Mas o que seriam essas duas componentes aqui? Esse cosseno de 50 e esse seno de 50? Se eu traçar o vetor unitário, ou seja, um vetor de raio 1 ao redor dessa origem, desse centro aqui. O cosseno de 50 graus, a gente teria aqui um raio igual a 1, e o cosseno desse ângulo aqui seria esse valor "x" aqui, que é componente desse raio 1. Então, a gente teria um valor aqui e esse valor seria o cosseno de 50 graus. Da mesma forma, a gente também teria uma componente no eixo "y" e essa componente nesse eixo "y" teria um valor. E esse valor aqui seria seno de 50 graus. Então, quando a gente está tentando calcular a componente no eixo "x", o que a gente está fazendo apenas é multiplicando 4 por esse valor aqui, que corresponde ao cosseno de 50 graus. Então, vai ser 4 vezes esse valor. A mesma coisa no "y" também, a gente vai ter um valor numérico aqui para esse raio 1, o eixo "y". E nós vamos multiplicar 4 por esse valor numérico que é o seno de 50 graus. Então, vamos lá, pegar a calculadora e fazer essa conta. Primeiro, a gente vai fazer o cálculo para a componente "x", então, vamos ter aqui 50, o cosseno de 50, que é 0,64 vezes 4. Isso é igual aproximadamente 2,57. Então, nós vamos ter aqui algo aproximadamente igual a essa componente "x" aqui que vai ser igual a 2,57. E a componente "y", nesse caso, nós podemos fazer da mesma forma. A gente vai vir aqui e calcular seno de 50 e multiplicar isso por 4. Então, esse aqui vai ser igual aproximadamente 3,06, então teremos aqui 3,06. Essas aqui são as duas componentes desse vetor de módulo 4 com o ângulo igual a 50 graus em relação horizontal. A componente "x" vai valer 2,57 e a componente "y" 3,06. O que faz muito sentido, não é? Porque eu coloquei esse "y" aqui sendo um pouco maior do que esse "x" e ele, de fato, é um pouco maior do que esse "x". Agora, nós temos um outro vetor de módulo 10, só que esse vetor está aqui no segundo quadrante. A gente pode fazer a mesma coisa que fizemos antes aqui. Pegando o módulo desse vetor, ou seja, 10, e multiplicando pelo cosseno do ângulo que ele forma com a horizontal, que é 135 graus. Então, teremos aqui 135 graus. Para determinar o componente "y", também, pegando o 10 e multiplicando pelo seno de 135 graus. Vendo aqui na calculadora rapidinho, fazendo cosseno de 135 graus e multiplicando isso por 10. Nós chegamos a um valor aproximadamente igual a menos 7,07. Então, teremos aqui -7,07. Fazendo a mesma coisa agora com o seno de 135 graus e multiplicando isso por 10. Nós teremos um valor aproximadamente igual a 7,07. Estas aqui são as duas componentes desse vetor. A gente conseguiu fazer isso rapidamente, já utilizando essas funções trigonométricas que fizemos aqui antes. Ou seja, o que nós fizemos foi pegar esse vetor unitário que temos aqui, com raio igual a 1. Observamos esse ângulo aqui, tiramos o cosseno. E como ele está nesse ponto aqui, o cosseno vai bater algo mais ou menos aqui, esse tamanho aqui. E a gente multiplicou isso por 10. Quando a gente multiplicou isso por 10, chegamos a esse valor aqui. E a mesma coisa fizemos aqui com o seno. Nós pegamos esse valor aqui e multiplicamos por 10. Essa daqui é uma forma de determinar isso. Mas a gente também poderia fazer de outra forma. A gente pode pegar esse vetor aqui e colocar as duas componentes desse vetor aqui. Dessa forma, a gente consegue montar um triângulo retângulo. E montando esse triângulo retângulo, a gente também consegue utilizar as funções trigonométricas para ele. Lembrando que o triângulo retângulo é aquele que tem um dos seus ângulos sendo 90 graus. E aqui, nesse caso, nós podemos pegar esse ângulo aqui. Nesse ângulo aqui, a gente pode determinar essa componente utilizando a função cosseno. Já que essa componente aqui se trata do cateto adjacente desse ângulo. Mas que ângulo seria esse aqui? Como sabemos, todo esse ângulo aqui tem 180 graus. Se todo esse ângulo aqui tem 180 graus, e, daqui até aqui, temos 135, 180 menos 135 é igual a 45 graus. Nós vamos utilizar esse triângulo retângulo com esse ângulo aqui sendo 45 graus. Como queremos determinar esse valor "x" aqui, que é esse cateto adjacente, a função trigonométrica que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa é o cosseno. Podemos vir aqui do lado e calcular esse cosseno. Teremos aqui o cosseno do ângulo, que é 45 graus, vai ser igual ao cateto adjacente, que é "x" sobre a hipotenusa, que é 10. Multiplicando por 10 em ambos os lados, a gente chega a essa relação, 10 vezes o cosseno de 45 graus é igual a "x". O cosseno de 45 graus, a gente já sabe que é igual a raiz de 2 sobre 2. Multiplicando isso por 10, nós chegamos a 5 raiz de 2. Então, "x" aqui nesse caso vai ser igual a 5 raiz de 2. Esse é o valor de "x". Você vai olhar aqui e e vai perceber que nós encontramos um valor positivo. Só que essa componente aqui não é positiva, é negativa. Quando utilizamos aqui as funções trigonométricas nesse triângulo retângulo, nós sempre vamos encontrar o valor absoluto. Ou seja, o módulo dessa componente. Seria como pegar esse valor, o valor da componente, elevar ao quadrado e tirar a raiz quadrada. E é isso que chegamos aqui a esse valor. O valor absoluto, mas, na verdade, esse valor seria negativo. Seria menos 5, raiz quarada de 2. Claro que se você pegar e calcular essa raiz de 2 e multiplicar por 5, você vai chegar a esse 7,07 aqui, algo muito próximo a isso. É claro que você pode fazer das duas formas aqui, você já vai chegar no valor já com o sinal. E utilizando a ideia do triângulo retângulo, você vai chegar ao valor absoluto, mas você sempre deve fazer a seguinte pergunta: "Estou com esse vetor aqui, certo? Quando estou estou na origem, eu não me move 5 raiz de 2 para à direita, eu me movi 5 raiz de 2 para a esquerda. Então, é óbvio que esse valor tem que ser negativo". Sempre que você utilizar essa ideia do triângulo retângulo e as funções trigonométricas, sempre tem que ver para qual lado esse vetor ou a componente desse vetor está apontada. Aí sim você vai chegar ao valor absoluto e saber se ele é positivo ou negativo, ok? Espero que você tenha gostado desse vídeo e nos vemos no próximo vídeo!