Magnitude de um vetor a partir da origem e da extremidade

RKA4JL - O que temos aqui pode ser chamado de vetor w e você pode ver pelo diagrama que o seu ponto inicial está bem aqui. Esse é o ponto (-7,3) e o extremo está neste ponto bem aqui, que é o ponto (2,-1). O que eu quero fazer neste vídeo é pensar qual é o módulo deste vetor. O que eu quero dizer quando falo de módulo? Eu estou falando do comprimento deste vetor aqui. Qual é o comprimento desse vetor? Pause o vídeo e tente achar por você mesmo. Uma coisa que pode saltar aos seus olhos é que o módulo desse vetor é simplesmente a distância entre estes dois pontos que o delimitam. Então se você quer saber o módulo desse vetor, basta aplicar aquela fórmula de distância entre pontos entre estes dois pontos. Aquela fórmula é essencialmente o teorema de Pitágoras. O que podemos facilmente fazer aqui é construir um triângulo retângulo desta maneira. Aqui em vermelho temos a variação do y entre os dois pontos que limitam o vetor e aqui em azul temos a variação do x entre estes mesmos dois pontos, formando um triângulo retângulo. O comprimento do vetor é exatamente o comprimento da hipotenusa desse triângulo retângulo. Portanto, o módulo do vetor vai ser a raiz quadrada da variação em x, que é um cateto ao quadrado, mais a variação em y, que é a medida do outro cateto, elevado ao quadrado também. Temos aqui, então, a raiz quadrada de (Δx² mais Δy²) [delta]. Agora precisamos saber quem é o Δx e quem é Δy. Δx é a variação em x. De uma maneira objetiva e generalizada, o Δx pode ser calculado como x final menos x inicial, o que se traduz neste caso em 2 menos (-7). Isso resulta em exatamente 9. Voltando ao cálculo do módulo, vamos ter aqui 9². Da mesma maneira vamos obter a variação em y. Vamos tomar o y final, que é -1, menos o y inicial, que é 3 e isso resulta em -4, ou seja, o valor de y do primeiro ponto para o segundo diminuiu em quatro unidades. Então o módulo desse vetor vai ser a raiz quadrada de 9², que 81, mais (-4)², que é 16. Vamos ter, portanto, a raiz quadrada de 97. Raiz quadrada de 97 nós não conseguimos simplificar, mas se quisermos ou precisarmos, podemos estimar o seu valor. Como 97 é um número um pouco menor que 100, a raiz quadrada de 97 há de ser um pouco menos que 10. Este é o módulo deste vetor. Pudemos obter o módulo do vetor conhecendo as coordenadas dos pontos que o limitam. Mas existe outra forma de um vetor ser definido sendo dada apenas uma componente em x e uma em y. Neste exemplo poderíamos ter o nosso vetor w dado como a soma de dois vetores. Um desses vetores seria a componente x do vetor w e a outra componente seria a componente y do vetor w. Você veria que o componente x é o Δx que usamos antes e o componente y é o Δy. Então algumas vezes você pode ver o vetor w definido desta forma. Parece que estamos escrevendo um ponto, mas na verdade são componentes do vetor. Neste caso, por exemplo, componente x é 9 e componente y é -4. Você pode achar estranho isso, porque diria que aqui só tem os componentes x e y e não sabe exatamente onde o vetor começa e acaba, mas isso é de propósito, porque para um vetor estar bem definido, basta o módulo, a direção e o sentido. Tudo isso está muito bem especificado aqui. Se quiser saber o módulo, você simplesmente pega a raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes. De novo, a raiz quadrada do 9² mais 4² vai ser a raiz quadrada de 97. Agora, para definir a direção e o sentido, basta saber que você pode deslocar esse vetor para qualquer lugar. Ele não vai deixar de ser o vetor w com as características determinadas. Ele pode, por exemplo, começar aqui. Posso colocar a origem dele na origem do sistema cartesiano. A partir daí posso me deslocar 9 positivos na direção do eixo x, da componente x, e -4, ou seja, 4 para o sentido negativo da componente y. O que temos aqui é o mesmo vetor w que tínhamos lá. Você pode deslocá-lo para qualquer lugar que ele vai continuar sendo o mesmo vetor. Espero que isso tenha dado uma ideia para você de como obter o módulo de um vetor a partir dos pontos inicial e final, ou a partir dos seus componentes. Até o próximo vídeo!