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Problema de vetor: trilha

Neste vídeo, resolvemos um problema com vetores, no qual calculamos a distância total percorrida em linha reta ao longo de alguns dias. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

RKA2MP Carol deixou seu acampamento 3 dias atrás para fazer uma trilha pela floresta. Em cada dia, ela percorreu um dos trechos descritos pelos vetores deslocamento d₁, d₂ e d₃, aqui representados analiticamente e, graficamente, aqui ao lado. Em cada um dos dias, um destes vetores. Os números dados, os valores, são distâncias dadas em quilômetros. Queremos saber, a princípio: a que distância Carol se encontra do acampamento ao final do terceiro dia? E, depois, vamos querer saber qual é a direção desde o acampamento até a posição de Carol ao final do terceiro dia. É como se ela precisasse voltar mais rápido e nós fôssemos mandar um helicóptero buscá-la, então, precisamos saber a distância e a direção. Vamos pensar um pouco nisso. Já que nós vamos tratar de uma espécie de mapa, um esboço, vamos estabelecer um sistema de coordenadas, um referencial. Isso é sempre muito importante. Este será o eixo Norte-Sul, normal nos mapas e aqui teremos o eixo Oeste-Leste, onde vamos, segundo o sistema cartesiano, tratar leste como positivo na horizontal e norte como o valor positivo na vertical. Muito bem. Temos aqui os três vetores. Veja que nós temos apenas suas componentes. Vamos pensar que o vetor d₁ tem 7 unidades na horizontal e 8 na vertical. Vejamos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 unidades na horizontal e 8 na vertical: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Muito bem, vamos representar estas componentes aqui. 7 unidades são 7 quilômetros na horizontal, então, em direção ao Leste e na vertical, em direção ao Norte, ela se deslocou 8 quilômetros. Veja o conceito de componentes, como funciona. Ela podia ter andado por estas duas componentes perpendiculares e chegado no mesmo ponto que alcançou, segundo o vetor d₁. Claro que ela andou muito menos, é assim que funciona a soma vetorial. Muito bem. Vetor d₂. Nós temos aqui 6 unidades na horizontal, em direção ao Leste. São positivas. E 2 unidades, 2 quilômetros, para o Norte. A gente marca aqui. No terceiro dia, ela andou, segundo o vetor deslocamento d₃, 2 quilômetros para o Leste e 9 quilômetros para o Norte. Veja que, se ela tivesse andado 9 quilômetros e fosse 9 negativo, 9 quilômetros para o Sul, ela estaria bem mais próxima do acampamento. É muito importante essa noção de coordenadas. Mas sabemos que ela andou 9 quilômetros para o Norte e, assim, a história fica mais interessante. Muito bem. 9 quilômetros. Vamos marcar. Então, desde o início, desde o primeiro dia, pelo sentido dos vetores, nós vemos que o início da caminhada coincide com a origem do vetor d₁ e a posição atual, o final dessa caminhada, coincide com a extremidade do vetor d₃. Vamos determinar o vetor deslocamento, esta distância, como se fosse em linha reta, se nós quiséssemos buscar a Carol de helicóptero para economizar o esforço da volta. Vejamos. Ela andaria segundo este vetor, que vamos chamar de deslocamento total e vamos representar por dₜ (deslocamento total). Se nós tivéssemos os módulos dos vetores d₁, d₂ e d₃, mesmo assim, não poderíamos fazer a soma escalar simples deles, porque eles não estão alinhados. A soma vetorial, você deve lembrar de outros vídeos. Vamos somar: dₜ é igual ao vetor d₁... Vai ser a soma de todos estes vetores. Vetor d₁, d₂... Enquanto eu escrevo, tente lembrar como é que nós já fizemos somas vetoriais. Aqui o vetor d₃, deslocamento do terceiro dia. Soma vetorial, veja só. Nós vamos obter o vetor deslocamento total assim. Para saber um vetor, você sabe, precisamos definir suas componentes. Componente horizontal sempre em primeiro lugar. Fazendo a soma normal, a soma simples das componentes horizontais. Componentes todas positivas, todas elas orientadas para o Leste. 7 no primeiro dia, mais 6 no segundo e mais 2 quilômetros no terceiro dia. Na vertical, todos positivos, em direção ao Norte, temos 8 quilômetros, que é a componente do vetor d₁, mais 2 quilômetros, do vetor d₂ e mais 9 quilômetros no terceiro dia, segundo o vetor deslocamento d₃. O vetor deslocamento total será, então... Terá as seguintes componentes... Vamos escolher cores para elas aqui. Componente horizontal: 7 + 6 = 13, 13 + 2 = 15 na horizontal, seguido, então... Vamos escolher uma cor. Aqui temos 8 + 2 = 10, 10 + 9 = 19 quilômetros na vertical. 19 quilômetros em direção ao Norte. Como é que nós vamos saber o valor, o módulo do vetor dₜ? Já determinamos isso em outros vídeos. Você deve se lembrar: para saber o módulo, vamos traçar suas componentes. A componente horizontal, que tem 7 quilômetros e depois mais 6, estão, temos 13 quilômetros e ainda mais 2 quilômetros, que é igual a 15 quilômetros em direção Leste. E agora, em direção ao Norte, 8 quilômetros a princípio, vai me ajudando a fazer esta soma por favor. 8 mais 2 são 10, e mais 9 do vetor d₃, 19 quilômetros. Muito bem. Nós temos aqui as componentes, sabemos que elas são perpendiculares, formam um triângulo retângulo. Portanto, sabemos que o módulo (esqueci das barrinhas, queremos saber o módulo) do vetor dₜ é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos. A raiz quadrada da soma. O primeiro cateto será 15² e seguido, na dimensão vertical, 19². Claro que a gente poderia inverter suas posições aqui. Vamos facilitar nossa vida com a calculadora. Vamos deslocar um pouquinho aqui para que você possa enxergar melhor. Como é que era mesmo a conta? Já me perdi. Raiz quadrada, temos aqui a segunda função. Raiz quadrada de 15² mais 19², a outra componente ao quadrado. Teremos, então, 24,2. Seria 21 se o arredondamento fosse aqui, mas quero aproximação de um décimo. O módulo, a distância do vetor dₜ, vai ser 24,2 quilômetros, vai aproximar na primeira casa decimal. 24.200 metros. Muito bem. Agora, queremos saber qual é a direção do acampamento até a posição de Carol. Pense nesta pergunta. Ela está meio esquisita. "Direção"? Tem que ser sempre em relação a um referencial. Direção em relação a quê? Como o exercício não especifica (no vestibular, um exercício deste poderia até ser anulado), vamos admitir que a direção é dada em relação ao eixo horizontal, ao eixo Oeste-Leste. A parte positiva, como sempre, nós vamos fazer o ângulo entre o vetor dₜ e a parte positiva do eixo horizontal, em direção ao Leste. Muito bem, vamos chamar este ângulo de teta (θ). Para determinarmos θ, como nós fazemos isso? Digamos que não soubéssemos o valor de dₜ, somente das componentes. Teríamos aqui os dois catetos. Qual é a fórmula da trigonometria que usa dois catetos? É a tangente. Podemos marcar aqui, você já deve conhecer. A tangente de θ é igual à razão entre o cateto oposto ao ângulo θ (o cateto que não encosta no ângulo θ) dividido pelo cateto adjacente. Cateto oposto é igual a 19, cateto adjacente é igual a 15. Esta é a tangente de θ. Nós queremos saber o ângulo θ. O ângulo θ é o arco, ou o ângulo, cuja tangente é igual a 19/15. Então, nós fazemos assim: tangente elevada a -1 (ou seja, arco tangente) de 19 dividido por 15. Vamos, mais uma vez, recorrer à calculadora. É o arco tangente, aqui está a tecla da tangente. Tangente a -1 é a segunda função. Tangente a -1 de 19 dividido por 15. Vamos saber qual é o arco, ou o ângulo: 51,7. Voltamos aqui. A direção aproximada, o valor mais próximo do grau 51,7, podemos dizer 52 graus. Será essa distância. Se um helicóptero for lá buscar, em relação ao eixo Leste, ele vai ter que virar o helicóptero 52 graus e seguir segundo o vetor dₜ. Agora temos orientação, temos a direção e o sentido e também já calculamos o módulo. Podemos, então, chegar até a posição de Carol.