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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 6
Lição 5: Soma e subtração de vetoresSoma e subtração de vetores por meio da regra da linha poligonal
Construa o raciocínio visual por trás da soma e subtração de vetores e do método da linha poligonal.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Neste vídeo, nós vamos
utilizar a nossa intuição para representar graficamente a soma
e a diferença entre dois vetores. Vamos dizer que a gente tem aqui
a soma entre dois vetores, sendo que um desses vetores é o vetor "a"
e o outro vetor é o "b". E a soma desses dois vetores aqui
vai ser igual a um vetor "c". Para a gente representa isso graficamente, inicialmente a gente coloca,
a gente traça o vetor "a". E a gente vai ter esse vetor "a" e depois a gente vai
traçar esse vetor "b", começando no final do vetor "a". Então, teríamos este outro vetor "b" aqui. Esse seria o nosso vetor "b". Sempre que a gente quiser realizar
a soma entre dois vetores, a gente coloca aqui, primeiro,
o primeiro vetor, depois, o segundo vetor,
começando ao final do primeiro vetor. A soma entre esses dois vetores, ou seja, o vetor "c" vai começar
no início do primeiro vetor. Ou seja, nesse caso,
no início do vetor "a" e vai terminar no final do segundo vetor,
que nesse caso é o vetor "b". A gente teria esse vetor aqui, começando no início do "a"
e terminando no final do "b". E esse aqui seria o nosso vetor "c". Mas o mais interessante aqui é que, nessa soma dos vetores,
a ordem não importa. Eu poderia colocar, por exemplo, em vez do "a" mais "b",
eu poderia colocar "b" mais "a". De qualquer forma, isso
resultaria nesse vetor "c". Então, a ordem dessa soma não importa. Vamos representar isso
graficamente também. Vamos colocar aqui na origem. Vamos dizer que seja a nossa origem
do sistema de coordenadas. Então, a gente vai colocar aqui
inicialmente o vetor "b". Lembre-se que o vetor "b", nesse caso, possui a mesma direção, o mesmo
sentido e o mesmo módulo. Já que se trata do mesmo vetor. A única coisa que nós fizemos aqui
foi deslocá-lo daqui para cá. A gente o colocou começando aqui e a agora a gente vai traçar
o vetor "a" também dese jeito. A mesma coisa. Possui a mesma direção, o mesmo módulo, o mesmo sentido que esse outro aqui. Aqui eu só estou o colocando
em outro lugar. Note que inicialmente
eu coloquei o vetor "b" e depois eu coloquei o vetor "a"
no final desse vetor "b". E assim, nós temos a soma
entre esses dois vetores. O vetor "c" vai começar
no início do vetor "b" que é o primeiro vetor nesse caso. E vai terminar no final do segundo vetor
que é o vetor "a" nesse caso aqui. Só que em ambos casos,
o vetor "c" é o mesmo vetor, possuindo mesmo módulo,
a mesma direção e o mesmo sentido. Agora vamos fazer um caso diferente. Em vez de realizar uma
adição entre dois vetores, vamos determinar a diferença
entre dois vetores. E vamos utilizar esses
mesmos dois vetores aqui. Vamos dizer que a gente
tenha um vetor "a", então em vez de somar,
a gente vai determinar a diferença. Ou seja, o "a" menos o vetor "b", certo? Isso aqui vai ser igual a um vetor "d". Quando a gente quer
determinar essa diferença, podemos dizer que a gente vai ter
o vetor "a" mais o vetor "b" negativo. Como que a gente pode representar isso? Vamos colocar aqui inicialmente
o nosso vetor "a". Temos aqui o vetor "a",
partindo aqui da origem. E se a gente quer subtrair com
esse vetor "b", foi o que eu falei, a gente pode imaginar que
a gente tem um "b" negativo, Ou seja, um vetor "b" com a mesma direção,
mas com sentido contrário. Se nesse caso, ele está apontado
aqui para a direita inferior, ele vai estar apontado, "-b" vai estar
apontado para a esquerda superior. A gente pode colocar esse
vetor "-b" aqui desse jeito. Então, teremos aqui nosso vetor "-b"
com sentido oposto ao vetor "b". E novamente como foi uma soma, só que agora com o vetor negativo, eu coloquei o vetor "a" e esse vetor "-b"
ao final desse vetor "a". Se a gente quer determinar esse vetor "d", a gente coloca a origem
dele na origem do "a" e o final dele no final do vetor "-b". Teremos esse vetor aqui,
que é o vetor "d". Quando a gente faz isso, você pode
pensar da seguinte forma: você tem um vetor "a" e você vai
somar com o vetor "b" negativo. Ou seja, mais o "b" negativo. Agora que já representamos esses vetores através dessas operações, que tal se a gente fizesse o inverso? O contrário disso. A gente tivesse vetores, a representação gráfica de vetores e a gente tentasse encontrar uma
relação algébrica entre eles. Por exemplo, esse aqui seria
o nosso vetor "a" e vamos colocar aqui também um
outro vetor, um vetor "b". Então, teríamos aqui um vetor "b". E vamos também colocar ao final
desse vetor "b", um vetor "c". Então, temos aqui um vetor "c". Eu vou pedir agora que
você pause esse vídeo e tente encontrar uma relação algébrica
entre esses três vetores. E aí, conseguiu? Uma forma de fazer isso seria
partir desse vetor "a", ou seja, colocando esse
vetor "a" aqui na origem, indo até aqui e depois
colocando o "b" aqui. Então, a gente teria, por exemplo,
o vetor "a" mais o vetor "b". E isso seria igual a alguma coisa,
você poderia dizer para mim: olha, a soma do vetor "a" com o vetor "b"
é igual ao vetor "c". Só que isso não é verdade,
porque na soma entre "a" e "b", a gente teria que colocar o vetor "c" iniciando aqui no começo do vetor "a"
e terminando aqui no final do vetor "b". E não é o que a gente tem aqui. A gente tem um vetor "c"
iniciando no vetor "b" e terminando no início aqui do vetor "a". O que a gente poderia
fazer aqui, nesse caso, seria inverter o sentido desse vetor "c". Então, por exemplo, em vez de a gente
ter esse vetor apontado para esse lado, a gente teria esse vetor "c"
apontado para esse outro lado. Só que esse não seria o vetor "c",
mas sim o vetor "-c". Já que o "c" estaria apontado para cá, o "-c" que tem um sentido contrário
está apontado para cá, certo? Agora sim, eu posso te dizer que a soma entre "a" e "b"
é esse vetor "-c". Já que ele está iniciando
aqui no começo do vetor "a" e terminando aqui
no final do vetor "b". Então, vamos colocar
essa relação algébrica entre esses três vetores aqui. Então, nós temos o vetor "a"
mais o vetor "b". Ou seja, soma entre o vetor "a" e "b", vai ser igual não ao vetor "c", mas sim igual ao vetor "-c". Então, a soma entre "a" e "b"
é igual ao vetor "-c". Espero que esse vídeo tenha ajudado
a compreender um pouco mais essa relação entre a álgebra de vetores e a representação geométrica
desses vetores e como realizar, também,
a operação entre eles. Seja com o vetor positivo
ou com o vetor negativo. Até a próxima!