Probabilidade condicional com o Teorema de Bayes

RKA2G Considere a seguinte situação. Bob está em um quarto e tem duas moedas, uma moeda justa e uma moeda com dois lados iguais. Ele escolhe uma aleatoriamente, joga e vê o resultado: cara. Qual é a probabilidade de ele ter jogado a moeda justa? A resposta a esta questão é: nós podemos desenhar um diagrama em árvore. O primeiro evento é ele ter escolhido uma das duas moedas. Então, a árvore cresce com dois ramos, levando aos possíveis resultados: moeda justa ou injusta. O evento seguinte é ele jogar a moeda e um novo ramo. Se ele pegou a moeda justa, sabemos que a jogada pode dar dois resultados igualmente possíveis cara ou coroa, enquanto a moeda injusta pode dar dois resultados, ambos caras. A árvore acabou e vemos que ela tem quatro folhas, representando os resultados igualmente possíveis. O último passo: a evidência. Ele diz "cara". Independente de qual seja a evidência, precisamos colocar na árvore. Cortamos todos os ramos que levam a coroa, porque sabemos que a coroa não ocorreu. E é isso. A probabilidade de ele ter escolhido a moeda justa é de um resultado levando a cara, dividido por três possíveis resultados levando a caras, ou 1/3. O que acontece se ele jogar de novo e disser "cara"? Lembre-se de que, após cada evento, a árvore cresce. A moeda justa permite dois resultados igualmente, cara ou coroa. A moeda injusta leva, também, a dois resultados iguais, cara e cara. Depois de ouvir o segundo "cara", temos que cortar todos os ramos levando a coroa. Portanto, a probabilidade de a moeda ser justa, depois de duas caras seguidas, é de um resultado justo levando a cara, dividido por todos os possíveis resultados levando a cara, ou 1/5. Note que o grau de confiança cai quanto mais caras acontecem, ainda que esse grau nunca atinja zero. Não importa quantas jogadas haja, nunca teremos 100% de certeza que a moeda é injusta. Na verdade, todas as questões de probabilidade podem ser resolvidas utilizando o diagrama em árvore. Vamos fazer mais um para garantir. Bob tem três moedas. Duas são justas, uma é enviesada. Tende a cair cara 2/3 do tempo e, coroa, 1/3. Ele escolhe uma moeda aleatoriamente e joga. Cara. Agora, qual é a probabilidade de ele ter escolhido a moeda enviesada? Vamos relembrar e fazer um diagrama em árvore. O primeiro evento (escolher a moeda) pode levar a três resultados igualmente possíveis: moeda justa, moeda justa e moeda injusta. O evento seguinte, a jogada da moeda. Cada moeda justa leva a probabilidades iguais de resultados, cara e coroa. A moeda enviesada leva a três resultados igualmente possíveis, dois representando cara e um representando coroa. A dica é sempre garantir que a árvore esteja equilibrada, o que significa que uma quantidade de folhas iguais saia de cada ramo. Para fazer isso, simplesmente escalamos o número de ramos pelo mínimo múltiplo comum. Para 2 e 3, são 6. E, finalmente, nomeamos as folhas. A moeda justa leva a seis folhas igualmente possíveis, três caras e três coroas. A moeda enviesada leva a duas folhas de coroa e quatro de cara. E é isso. Quando Bob grita o resultado "cara", esta nova evidência faz a gente sacar todos os ramos que ligam às coroas, já que coroa não ocorre. Qual é a probabilidade de ele ter escolhido a moeda enviesada, já que só ocorrem caras? Pois bem, quatro folhas vêm da moeda enviesada e eu divido isso por todas as folhas possíveis. Isso dá 4/10, ou seja, 40%. Se você estiver em dúvida, é sempre possível adicionar uma probabilidade condicional, através do teorema de Bayes. Ele nos diz a probabilidade de um evento A, dada uma nova evidência B. E, se você esquecer, não tem problema. Basta que você saiba desenvolver histórias e cortar árvores.