Arranjos fatoriais e de contagem de assentos

RKA10JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ter uma ideia do que é uma permutação. E este conceito é uma maneira de organizar as coisas. Ou seja, um total de possibilidades para organizar um grupo. E para entender isso melhor, vamos dizer que aqui nós temos um sofá com três assentos: o primeiro assento, o segundo e o terceiro. E vamos dizer que nós temos três pessoas que podem usá-lo: a pessoa "A", a pessoa "B" e a pessoa "C". De quantas maneiras essas três pessoas podem sentar em cada um desses lugares? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. A primeira maneira de fazer isso é listando todos os grupos possíveis. Ou seja, podemos colocar a pessoa "A" no primeiro assento, a pessoa "B" no segundo assento e a pessoa "C" no terceiro assento. Um outro grupo que podemos formar é colocando a pessoa "A" ainda no grupo 1 e trocando a pessoa "B" com a pessoa "C" de posição, ficando com a pessoa "C" aqui e a pessoa "B" aqui, e essas são todas as possibilidades em que a pessoa "A" fica na primeira posição. Agora podemos colocar a pessoa "B" na primeira posição, o que significa que a pessoa "A" pode ficar na segunda e a pessoa "C" na terceira, ou então a pessoa "B" na primeira posição e a pessoa "C" na segunda, e a pessoa "A" na terceira. Ou então podemos colocar a pessoa "C" na primeira posição, a pessoa "A" na segunda, e a pessoa "B" na terceira, ou então a pessoa "C" na primeira, e a pessoa "A" trocando de posição com a pessoa "B", ou seja, "B" aqui e "A" aqui. E aí temos todas as permutações possíveis, que são uma, duas, três, quatro, cinco e seis, e não foi tão difícil assim, não é? Mas note que nós tínhamos três lugares e tínhamos três pessoas, ou seja, organizamos pessoas de modo que todos os lugares foram ocupados. Quando isso acontece, temos uma permutação. Se tivesse, por exemplo, uma quarta pessoa aqui, nós não teríamos como permutá-las. O que faríamos seria uma organização de quatro pessoas com três lugares disponíveis. E outra coisa importante a se notar é que aqui tínhamos poucos lugares e poucas pessoas, não é? Mas e se, por exemplo, bem por exemplo, se o sofá tivesse 100 lugares e tivéssemos 100 pessoas? listar esses grupos seria uma tarefa bastante complicada, não é? O que poderíamos fazer, nesse caso, é utilizar o princípio fundamental da contagem. Como assim? Se você tem três lugares e três pessoas, o que você tem que fazer é tomar três decisões. A primeira é quem vai sentar no assento 1, a segunda é quem vai sentar no assento 2 e a terceira é quem vai sentar no assento 3. Depois disso, você multiplica as quantidades de possibilidades de cada decisão. E para tomar essas decisões, o ideal é você se colocar no lugar da pessoa que vai tomar essa decisão. Como assim? Aqui você tem um lugar e tem três pessoas disponíveis para escolher. Ou seja, você tem três possibilidades para colocar uma pessoa no primeiro assento. Sabendo que isso aconteceu, para o segundo lugar restam duas possibilidades e para o terceiro lugar resta uma possibilidade. E multiplicando essas possibilidades, nós vamos ter que 3 vezes 2 é 6, vezes 1 vai continuar sendo 6. E o interessante é que esse 3 vezes 2 vezes 1 pode ser representado por um 3 com uma exclamação que chamamos de fatorial, que é a mesma coisa que 3 vezes 2 vezes 1, que também dá 6. Então para fazer uma permutação, você pega a quantidade de elementos e coloca um fatorial. Para você entender melhor, vamos estender o exemplo do sofá e vamos dizer que agora ele tenha um, dois, três, quatro e cinco assentos. E que também temos cinco pessoas: "A", "B", "C", "D", e "E". Se eu tenho cinco lugares disponíveis e vou preenchê-los com a mesma quantidade de elementos, significa que não vai sobrar nenhum elemento, correto? Quando isso acontece, nós temos uma permutação. E que nesse caso a quantidade de grupos formados vai ser igual a 5 fatorial (5!), que é igual a 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1. E 5 vezes 4 vai dar 20, 20 vezes 3 vai dar 60, e 60 vezes 2 vai dar 120, vezes 1, vai continuar sendo 120, ou seja, a permutação de 5 pessoas em 5 lugares é 120. E isso seria a mesma coisa que você tomar cinco decisões, sendo que para a primeira você tem cinco possibilidades, cinco pessoas, e multiplicamos pelo número de possibilidades para o segundo assento, que é quatro, e depois três possibilidades, depois duas e depois uma, que é a mesma coisa que temos aqui. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!