Introdução à probabilidade dependente

RKA - Vamos imaginar que estamos em algum tipo de cassino com jogos muito esquisitos. Você vai até uma mesa que tem um saco vazio. O funcionário que trabalha na mesa diz: "Eu tenho algumas bolas de gude aqui, três bolas de gude verdes e duas laranjas, e vou colocá-las no saco." Ele literalmente coloca no saco vazio para mostrar que tem três bolas verdes e duas bolas laranjas. E as regras do jogo são: se quiser jogar, vai olhar para o outro lado, colocar a mão no saco... O saco não é transparente. ...e tirar duas bolas. Todas as bolas são exatamente iguais, exceto a cor. E se conseguir tirar duas bolas verdes, uma de cada vez, então você ganhará o prêmio. Vai ganhar R$ 1,00 se tirar duas bolas verdes. Se você tirar duas verdes, vai ganhar R$ 1,00. E aí, você diz... "é, parece um jogo interessante". Quanto custa para jogar? O funcionário responde que o preço para jogar é R$ 0,35. Obviamente, esse é um cassino com apostas bem baixas. Minha pergunta para você é: "Gostaria de jogar este jogo?" Não leve em consideração o fator diversão, sob o ponto de vista econômico, faz sentido jogar? Vamos pensar um pouco sobre as probabilidades. Então, antes de mais nada, qual é a probabilidade de que a primeira bola que vai pegar seja verde? Na verdade, eu vou escrever "probabilidade da primeira verde". O total de resultados possíveis: tem cinco bolas e todas são igualmente prováveis. Tem cinco resultados possíveis, três deles satisfazem seu evento de que a primeira seja verde. Tem uma probabilidade de 3/5 de que a primeira bola seja verde. Portanto, tem uma probabilidade de 3/5 que de, depois de tirar a primeira, ainda estará no jogo. Agora, o que é importante é a sua probabilidade de ganhar o jogo. Você quer que a primeira e a segunda bola sejam verdes. Vamos pensar... qual é a probabilidade de que a primeira bola seja verde? Eu vou escrever V para verde. E a segunda bola também seja verde. Agora dá para se sentir tentado a dizer talvez a probabilidade de a segunda ser verde é a mesma, ela é de 3/5. Posso simplesmente multiplicar 3/5 por 3/5, obter 9/25, que parece ser uma coisa muito simples. Mas o que precisa perceber é o que faz com a primeira bola verde. Não vai tirar a primeira bola verde, olhar para ela e recolocá-la no saco. Quando for tirar a segunda bola, o número de bolas de gude verdes que estão no saco vai depender do que tirou da primeira vez. Lembre-se, a gente tirou a bola. Se ela for verde, não importa qual delas após tirar a primeira, vamos deixar na mesa. Nós não vamos recolocar no saco, não haverá nenhuma substituição aqui. Estes não são eventos independentes. Não são independentes ou, especificamente, a segunda escolha depende da primeira escolha. Se a primeira bola for verde, não terá mais três bolas verdes em um saco com cinco bolas ao todo. Se a primeira bola que tirou for verde, terá duas bolas verdes em um saco com quatro. A forma como a gente se refere a isto é que a probabilidade de tirar duas bolas verdes, uma por vez, é igual a probabilidade de tirar a primeira bola verde vezes... Agora é um tipo de idéia nova. ...a probabilidade de tirar a segunda bola verde. Dado, esse pequeno traço vertical significa "dado que". Dado que a primeira bola era verde, qual é a probabilidade de que a segunda bola seja verde, dado que a primeira bola era verde? Desenhamos o cenário. Se a primeira bola for verde, tem quatro resultados possíveis, e não mais cinco. E dois deles satisfazem o seu critério. A probabilidade de a primeira bola ser verde e a segunda ser verde será a probabilidade de a primeira bola ser verde. Ela será de 3/5 vezes a probabilidade de a segunda ser verde, dado que a primeira era verde. Você tem uma bola a menos no saco, e estamos pressupondo que a primeira que pegou era verde, então só terá mais duas bolas verdes. Qual será nossa probabilidade total? 3/5 vezes 2/4, 2/4 é igual a 1/2, isto será igual a 3/5 vezes 1/2, que é igual a 3/10. Ou, a gente pode escrever como 0,30. Ou dizer que tem uma chance de 30% de pegar duas bolas verdes quando não recolocamos as bolas no saco. A gente sabe disso, e faço a pergunta de novo: Você gostaria de jogar esse jogo? Se tivesse jogado esse jogo muitas muitas, muitas vezes, em média, teria uma chance de 30% de ganhar um real e nós ainda não cobrimos isto. Mas o seu valor esperado realmente será de 30% vezes R$ 1,00, que te dá uma visão prévia que será R$ 0,30. 30% de chance de ganhar R$ 1,00. Você esperaria em média, se jogasse esse jogo muitas, muitas vezes, que ganharia R$ 0,30. Agora, você está disposto a pagar R$ 0,35 para tentar ganhar R$ 0,30 em média? Não! Não iria querer jogar esse jogo, mas pense em uma coisa, você gostaria de jogar, se pudesse recolocar a bola verde? Depois da primeira tirada, após tirar a primeira, se pudesse recolocar a bola verde, gostaria de jogar nesse cenário? Pense nisso!