Relação entre múltiplos de um número natural e seus restos | Parte I

RKA - Olá, meu amigo ou minha amiga, tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais uma aula de matemática. E nessa aula, nós vamos aprender a identificar relações entre os múltiplos de um número natural e os restos das divisões realizadas por ele. Mas antes de falar sobre isso, é preciso a gente relembrar aqui um pouquinho o que é uma sequência numérica. Você sabe o que é uma sequência numérica? Uma sequência é todo o conjunto, ou grupo, no qual seus elementos estão escritos em uma determinada ordem. A sequência numérica segue a mesma regra, mas ela é composta por números que estão dispostos em uma determinada ordem preestabelecida. Como assim? Bem, a gente pode ver alguns exemplos de sequências numéricas agora. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, e assim por diante, é uma sequência numérica dos números naturais. Repare que existe uma ordem nessa sequência, não é? Da mesma forma, podemos ter a seguinte sequência: 2, 4, 6, 8, 10, 12, e assim por diante. Essa é a sequência de números pares positivos. Ah, uma coisa que eu não posso deixar de falar com você, é que cada elemento da sequência é chamado de "termo". Além disso, uma coisa que podemos perceber, é que em todas as sequências existe uma certa regularidade entre os termos. Na sequência dos números naturais, a nossa regularidade é sempre o termo anterior ao que queremos saber, mais uma unidade. Repare que o segundo termo da sequência é igual ao primeiro termo, mais uma unidade, ou seja, 2 é igual a 1, que é o termo anterior, mais 1. A mesma coisa acontece com o terceiro termo. Temos aqui o 3, que é igual ao elemento anterior, ou seja, 2 mais uma unidade, 2 + 1 é igual a 3. E o mesmo se repete por toda a sequência. A gente tem, também, uma certa regularidade na sequência dos números pares positivos. Qualquer termo é igual ao elemento anterior, mais duas unidades. Como assim? Por exemplo, o segundo termo, que é o 4, é igual ao termo anterior, que é o 2, mais duas unidades: 2 + 2 é igual a 4. O mesmo se aplica com o terceiro termo da sequência, que é o 6, o 6 é igual ao termo anterior, que é o 4, mais duas unidades: 4 + 2 é igual a 6, e isso continua por toda a sequência. Então, meu amigo ou minha amiga, reparou que sempre existe uma certa regularidade nessas sequências? Agora que a gente já viu isso, a gente pode fazer uma outra coisa bem legal com as sequências, a gente pode pegar uma sequência qualquer e dividir cada um dos termos por um certo número. Por exemplo, vamos pegar a seguinte sequência numérica: 3, 6, 9, 12, 15, 18, e assim sucessivamente. Vamos dividir cada um desses termos aqui pelo primeiro termo dessa sequência, que nesse caso é o 3? Ou seja, vamos dividir todos os termos aqui por 3. Se a gente dividir o primeiro termo por 3, teremos quanto? Bem, vamos fazer aqui do lado. 3 dividido por 3 é igual a quanto? É igual a 1. E qual é o resto dessa divisão? Bem, para a gente encontrar o resto dessa divisão, é só a gente pegar aqui o 1, multiplicar por 3, aí a gente vai ter 1 vezes 3, que é 3, a gente coloca o 3 aqui embaixo e subtrai o 3 com 3. 3 menos 3 é igual a zero. Então, o resto dessa divisão é zero, certo? Ou seja, fizemos uma divisão em que o nosso resto é igual a zero. Vamos fazer o mesmo com o segundo elemento, ou seja, com o 6. Vamos fazer aqui do lado também: 6 dividido por 3, e isso é igual a quanto? É igual a 2. E qual é o resto dessa divisão? A gente vai pegar o 2 e multiplicar com o 3, 2 vezes 3 é igual a 6. Aí a gente coloca o 6 aqui embaixo, e aí subtrai o 6 aqui de cima com 6 daqui de baixo. 6 menos 6 é igual a zero. Ou seja, fizemos uma outra divisão em que o nosso resto é igual a zero. A gente pode fazer o mesmo com todos os termos aqui dessa sequência. Eu vou fazer um pouquinho mais rápido aqui agora, tudo bem? Mas a gente vai fazer sempre da mesma forma. Se a gente dividir o 9 por 3, a gente vai ter um valor igual a 3. E qual é o resto aqui dessa divisão? A gente multiplica o 3 com 3, aí a gente tem 9, e aí subtrai 9 com 9. 9 menos 9 é igual a zero. A gente pode fazer a mesma coisa com 12, vamos dividir o 12 por 3. 12 dividido por 3 é igual a 4, para encontrar o resto, a gente multiplica o 4 com o 3, 4 vezes 3 é igual a 12, e subtrai 12 com 12, 12 menos 12 é igual a zero. Dividindo 15 agora por 3, a gente tem um valor igual a 5, para encontrar o resto dessa divisão, basta a gente pegar o 5 e multiplicar com 3, 5 vezes 3 é igual a 15, aí a gente coloca o 15 aqui embaixo, 15 menos 15 é igual a zero, ou seja, outra divisão em que o resto é igual a zero. Agora, vamos fazer aqui por último com 18, 18 dividido por 3. 18 dividido por 3 é igual a 6. Aí, para encontrar o resto, a gente multiplica aqui o 6 com 3, 6 vezes 3 é igual a 18, e aí subtrai 18 com 18. 18 menos 18 é igual a zero, então, a gente também tem aqui uma divisão com o resto igual a zero. Ou seja, meu amigo ou minha amiga, dividindo todos os elementos da sequência por 3, temos que o resto da divisão é igual a zero. E por que isso acontece? Repare que o número que originou a sequência é o 3, não é? Por isso que eu decidi dividir todo mundo por 3. Além disso, todos os termos da sequência são números que são múltiplos de três, por isso que o resto da divisão de cada termo por 3 é igual a zero. Todas as vezes que dividimos um múltiplo de um número pelo número do qual ele é múltiplo, temos o resto sendo igual a zero. Ou seja, 3, 6, 9, 12, 15 e 18 são múltiplos de 3. O que podemos concluir com isso? Que a nossa sequência numérica é a sequência dos múltiplos de 3. Poderíamos fazer isso com outras sequências também, quem sabe a sequência com os múltiplos de 4, ou ainda, a sequência dos múltiplos de 5. Sempre encontraremos o resto igual a zero nessas sequências. Mas será que isso se aplica a todas as sequências? Nem sempre, meu amigo ou minha amiga, e inclusive vamos conversar um pouco melhor sobre isso na próxima parte dessa aula. Então, eu quero deixar aqui para você um grande abraço, e até o próximo vídeo!