Como encontrar um quadrilátero a partir de suas simetrias (exemplo 2)

RKA2MB Dois desses pontos que definem um quadrilátero são (-4, -2)... então, vamos traçar, é (-4, -2)... e (0, 5)... então, (0, 5). O quadrilátero não muda com a reflexão sobre a reta "y = x/2". Como fica essa reta? “y = x/2”. Vou fazer em azul. “y = x/2”; então, quando "x" é igual a 0, "y" é 0 (a intersecção "y" é 0); e a constante de proporção é 1/2. Cada vez que "x" aumenta por 1, "y" irá decrescer por 1/2; ou, quando "x" aumenta por 2, "y" aumentará por 1. "x" aumenta por 2, "y" aumenta por 1; "x" aumenta por 2, "y" aumenta por 1. Outra forma de pensar é: "y" é sempre metade de "x". Então, quando "x" é 4, "y" é 2; quando "x" é 6, "y" é 3; quando "x" é 8, "y" é 4. Então, podemos conectar aqui... vou tentar desenhar o melhor possível... quando "x" é -2, "y" é -1; quando "x" é -4, "y" é -2. Ele passa por aquele ponto ali e continua com um declive de 1/2. Esta é a reta, e posso desenhar um pouco mais grossa agora que já pontilhei... esta é a reta “y = x/2”. E também dizem que o quadrilátero fica inalterado com uma reflexão sobre a reta “y = -2x + 5". Então, a intersecção "y" é 5 (quando "x" é 0, "y" é 5). Ela passa por esse ponto e a inclinação é -2. Cada vez que aumentamos "x" por 1, diminuímos "y" por 2. Então, fica ali, ficamos aqui, e continuamos em uma inclinação de -2. Daí, vai ficar mais ou menos assim. Ela passa por esse ponto e continua eternamente. Esta é a minha melhor tentativa de desenhar essa reta; e é “y = -2x + 5”. Vamos pensar e ver se conseguimos desenhar esse quadrilátero. Primeiro, vamos refletir sobre o quadrilátero, ou sobre os pontos que tem sobre a reta “y = x/2”. Essa é a reta “y = x/2”. Esse ponto magenta é o ponto (-4, 2) e já está nessa reta; então, é a sua própria reflexão, e acho que poderia chamar assim. Uma forma de pensar é que está no espelho, mas pode facilmente refletir essa reta aqui. Se fizer essa reta uma perpendicular... e, na verdade, essa reta “y = -2x + 5” é perpendicular a “y = x/2”. Como sabemos? Se uma reta tem inclinação "m", então a reta que é perpendicular seria o negativo do inverso disso. Seria “-1/m”. Essa primeira reta tem inclinação de 1/2. Qual é o negativo do inverso de 1/2? O negativo do inverso de 1/2 é 2/1, então é igual a -2. Essas retas são... eu estou tentando apagar as perpendiculares... a gente poderia fazer uma perpendicular com uma reta passando por essa reta... quando fizermos a reflexão... e vemos que estamos diminuindo 2/2 duas vezes. Vamos diminuir 2/1... diminuir 2/1 duas vezes. Vou fazer na mesma cor. A reflexão desse ponto através de “y = x/2” é este ponto aqui. Agora, tem três pontos de nosso quadrilátero, vamos ver se conseguimos o quarto. E vamos para o ponto magenta. Já vimos, ele está em cima de “y" e é igual a "x/2”, então tentar fazer sua reflexão não ajuda muito; mas poderia tentar refletir através de “y = -2x + 5”. Mais uma vez, essas retas são perpendiculares entre si. Vou marcar: essas retas são perpendiculares, e a gente pode traçar uma perpendicular e tentar achar sua reflexão. Estamos indo 2 para a direita e 1 para cima. Estamos fazendo isso uma vez, duas vezes, três vezes do lado esquerdo. Vamos fazer uma vez... usa vezes três vezes do lado direito... então, a reflexão está bem aqui. Basicamente, a gente quer chegar naquela reta. E, não importa o quanto para a esquerda dela a gente quer ir, queremos ir na mesma direção, e, para a direita em cima, a mesma distância para obter a reflexão. Então aí está; esse é nosso outro ponto. Agora, temos os quatro pontos do quadrilátero. Quatro pontos desse quadrilátero são... ou os quatro lados. Vou desenhar o quadrilátero. E, agora, temos os nossos quatro pontos: esse é um lado, esse é outro lado, outro lado... e você pode verificar que eles são paralelos. Como verificaria que são paralelos? Eles têm a mesma inclinação. Para chegar desse ponto, para aquele ponto, tem que aumentar um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete. Então, a inclinação é 7/4. Aumento sobre a variação de "y" sobre variação de "x" é 7/4. E, aqui, aumenta um, dois, três, quatro. Então, varia quatro na horizontal, e varia um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete na vertical. A inclinação também é 7/4. Essas duas retas serão paralelas, e podemos desenhar essas retas aqui. Esta em cima... a de cima bem aqui... e qual é a inclinação? Vamos ver. Passamos de “x = 0” para “x = 8”. Diminuímos nossa alteração em "y", é -1 toda vez que aumentar "x" por 8. Esta é a inclinação; é igual a -1/8. E essa é exatamente a mesma inclinação que tem aqui: -1/8. Essas duas retas também são paralelas. Essa reta também é paralela a essa reta. Daí, no mínimo, estamos lidando com um paralelogramo; mas vamos ver se conseguimos ser mais específicos, porque isso está parecendo um losango. Parece um paralelogramo onde todos os quatro lados têm o mesmo comprimento. Tem algumas formas para verificar isso. Uma forma é encontrar a distância entre esses dois pontos. Conhecemos as coordenadas e poderia usar a fórmula de distância, que, na verdade, vem do teorema de Pitágoras. Ou olhar para as diagonais desse losango. Poderíamos olhar para as diagonais desse paralelogramo, e estamos tentando determinar se é um losango. Se as diagonais são perpendiculares, estaremos lidando com um losango, e já demonstramos que esta diagonal, esta diagonal e esta diagonal são perpendiculares. Elas têm intersecção em ângulos retos, então, tem que ser um losango.