Resolução de problemas | Parte II

RKA - Muito bem, então seja muito bem-vindo de volta para mais esst vídeo, e agora nós vamos retomar aquele probleminha que a gente tinha no vídeo anterior da Júlia, a manicure. Ela tinha um salário de 1.500 reais e tinha alguns gastos como aluguel, alimentação da família e, nesse mês, ela teve uma despesa extra, que foi para pagar os remédios, tá? E aí a pergunta era: tinha sobrado ou não, sobrou ou não, dinheiro para a Júlia. E retomando, relembrando para você, a gente está mostrando que em matemática, a gente tem diferentes caminhos que a gente pode seguir. Podemos utilizar diferentes formas, diferentes estratégias de resolução e, ainda assim, resolver o problema satisfatoriamente. Então a gente não fica limitado a uma única maneira de pensar, a gente pode abordar o problema por diferentes caminhos, diferentes maneiras, tá? Então o que nós vamos fazer aqui agora é fazer uma nova interpretação desse problema, nós vamos usar uma outra forma, um outro modo para resolver, eu chamei aquele lá de primeiro modo, nós vamos colocar aqui o segundo modo agora. Então vamos fazer isso de uma segunda maneira, de uma outra maneira, e te mostrar que a gente chega na mesma conclusão, na mesma resposta, na resposta correta desse problema, tá? Então agora a gente vai começar esse segundo modo. E diferentemente do primeiro modo, nós não vamos vir aqui no aluguel, na alimentação da família ou até mesmo nessa despesa extra com os remédios e ver quanto cada um deles vai corresponder em reais para depois somar e ver se os 1.500 reais que ela recebe de salário vai ser suficiente e, se for suficiente, se vai sobrar, ou não, dinheiro. O que nós vamos fazer é, já que todos esses gastos aqui que eu citei, eles estão em fração do salário dela, ou eles estão como uma parte do salário dela, nós vamos juntar todos eles, vamos somar todos eles, vamos descobrir o gasto que ela vai ter no total, nós vamos descobrir uma fração que vai representar o total de gastos dela. Então vamos colocar os gastos. Então vamos somar todos eles para tentar descobrir qual será a fração que representa os gastos que a nossa Júlia, a manicure, vai ter nesse mês. Então vamos lá: a Júlia teve aqui com o aluguel 1/4 do salário comprometido, né? Então o primeiro gasto que eu vou lançar aqui, ou a primeira despesa, é 1/4 referente ao aluguel. Vamos juntar isso e somar com as outras despesas que ela teve, por exemplo, alimentação da família, nós temos aqui 2/5 do salário indo embora. Então, 2/5 do salário comprometidos com alimentação da família. E falta agora essa despesa extra que ela teve especificamente nesse mês, e essa despesa extra, referente aos remédios, comprometeu aqui 3/8 do salário dela. Então 3/8, tá? Então o que nós temos que fazer aqui agora é somar essas 3 frações aqui e vamos fazer isso. Cabe observar aqui que como essas frações têm denominadores diferentes, trata-se aqui de dividir esse salário em partes diferentes. Portanto, a gente não pode simplesmente sair somando isso aqui de qualquer jeito. Então a gente vai primeiro aqui tentar buscar uma estratégia para burlar esse fato, né? Então a gente vai pensar o seguinte: se eu dividir em 4, obviamente o tamanho, o resultado, vai ser diferente de dividir em 5, e vai ser diferente de dividir em 8. Então eu vou querer tentar dividir em um número que seja ao mesmo tempo um múltiplo de 4, múltiplo de 5 e múltiplo de 8. Seria legal também, se esse número que seria múltiplo de 4, 5 e 8, fosse o menor possível para a gente não ter esforço desnecessário. Quando você quer achar um múltiplo comum entre esses três números e o menor possível, o que você está querendo calcular a gente chama de MMC, tá? Então a primeira coisa que eu vou fazer é calcular o MMC entre o 4, o 5 e o 8. Vamos colocar isso no canto. Eu vou fazer isso aqui para cá. Então a gente quer fazer o MMC entre os números 4, 5 e 8, a gente quer acha um número que seja múltiplo comum desses três, tá? E que seja o menor possível, por isso é mínimo múltiplo comum. Então como é que a gente faz o MMC? Bom, a regra prática para calcular isso aqui é bem simples, acredito que você não deve ter dificuldade com isso. A gente faz o seguinte: a gente coloca aqui 4, 5 e 8, que são os números, a gente passa uma linha aqui e faz a fatoração em números primos desses três números. Bom, então a gente vai ficar aqui entre 4, 5 e 8. Enquanto tiver números que podem ser divisíveis pelos primos, pelos menores primos possíveis, eu vou continuar fazendo essas divisões, tá? Então 4, 5 e 8 podem ser divididos pelo número primo 2, né? Então eu posso colocar 2 aqui: 4 ÷ 2 = 2, 5 ÷ 2 não dá inteiro, não dá exato, então aqui a gente vai colocar 5, repete. 8 ÷ 2 = 4, dá exato. Continuo tendo números pares, ou seja, números que podem ser divisíveis por 2. Então eu continuo dividindo aqui por 2. 2 por 2 dá 1. 5 por 2 não dá exato, então coloco o 5 aqui, repete. 4 por 2 dá 2. Novamente eu tenho 2 aqui, né? Então vou mais uma vez dividir por 2 e vai ficar 1, 5 e 1. E agora a gente não tem nenhum número mais que dá por 2, o próximo número primo, 3, a gente também não vai ter ninguém aqui que dá para dividir por 3, e a gente vai para o próximo número primo, que seria o 5, e aqui eu vou colocar 5. Logo, eu vou ter 1, 1, 1. E aí terminou o problema, a gente já descobriu qual é o MMC desses três números. Basta a gente escrever isso aqui agora como 2 x 2 x 2, né? Então isso aqui é 2³ vezes 5, tá? 2³ é multiplicar: 2 x 2 = 4, 4 x 2 = 8, 8 x 5 = 40. Logo, a gente pode escrever aqui que o MMC entre 4, 5 e 8 é 40, ou seja, o 40 é múltiplo do 4, o 40 é múltiplo do 5, o 40 é múltiplo do 8 e o 40 é o menor múltiplo desses 3 números, tá? Não existe um outro que seja múltiplo desses 3 e que seja menor que 40. Então, agora a gente vai fazer o seguinte: a gente vai continuar o que a gente estava fazendo e a gente vai transformar essas frações aqui em frações equivalentes a essas, só que com um denominador 40, porque aí todas elas vão ter o mesmo tamanho, né? Como o denominador é igual, a gente vai dividir tudo por 40, todas elas vão ter partes iguais, e aí a gente pode simplesmente somar. Então eu vou colocar aqui 40 para essa, vou colocar aqui 40 para essa e vou colocar aqui 40 para essa, que é o mínimo múltiplo comum, tá? Então vamos criar frações equivalentes àquelas lá. Então como que a gente faz isso aqui de um jeito bem simples? O que a gente tem aqui é que eu estava dividindo essa fração aqui em 4 pedaços, agora eu quero dividir em 40. Então perceba que de 4 para 40, eu tive 10 vezes de aumento aqui, né? 10 vezes mais, 4 x 10 = 40. Então, se eu dividir em 4 e pegar 1, é o mesmo que dividir em 40 e aí eu vou fazer a mesma coisa aqui, né? Vou fazer aqui uma coisa equivalente. Então, se eu multipliquei por 10 aqui embaixo, 4 x 10 virou 40, aqui eu vou fazer x 10 também. Então vou fazer 1 x 10, e aí vai ficar 10 aqui em cima, tá? Então 10/40 é a mesma coisa que 1/4. Na prática, a gente acrescentou um 0 aqui nos dois, e aí manteve essa proporção. Portanto, essas frações são equivalentes, dá no mesmo usar 1/4, dá no mesmo usar 10/40, não vai fazer diferença. Então eu vou fazer a mesma lógica aqui, o 5 vira 40, tá? E eu sei que aqui o 40 é múltiplo do 5. Então, 5 x 8 é 40. E aí a gente vai fazer a mesma coisa, já que dobramos a parte de baixo, a gente vai dobrar parte de cima, vai ficar 2 x 2, vai dar 4 aqui. Desculpa, o 2 não, né? 8. 2 x 8. A gente vai fazer o mesmo que a gente fez aqui na parte de baixo. Então, 2 x 8, 16/40, tá? E finalizando, o 8 virou aqui 40, e a gente sabe que 8 x 5 é 40. Então 8 x 5 = 40. Logo, essa parte aqui, que era 3, também vai ficar 5 vezes maior, tá? Então para manter a proporção, para ser frações equivalentes, nós vamos ter aqui 8 x 5 = 40, 3 x 5 = 15, certo? Então aqui a gente já consegue somar essas três frações aqui, todas essas são equivalentes àquelas ali de cima, então somar essas três e somar as três de cima dá no mesmo, só que a vontade é que essas três aqui, todas elas têm o denominador valendo 40. Logo, a gente pode simplesmente somar as partes na parte de cima, tá? A gente mantém o 40 aqui em baixo, já que a gente está dividido em 40, e aí a gente vê quantas partes a gente vai ter na parte de cima. Então, simplesmente, agora a gente vai colocar aqui na parte de baixo da nossa fração, a gente vai colocar 40, e aí a gente vai somar aqui: 10 + 16 + 15. Então vai ficar 10 + 16 + 15. Isso vai ser aquela fração que corresponde ao gasto total que a Júlia, a manicure, vai ter nesse mês. Então vamos colocar a resposta aqui, aqui embaixo, que vai dar... Vou colocar aqui. Então, essa fração aqui, ela vai ser de quarenta avos aqui embaixo, 10 + 16 + 15, isso aqui tudo dá 41. Então essa fração aqui é 41/40, tá? Então, se você observar aqui, o resultado é uma fraçãozinha que corresponde ao total de gastos dela. Essa fração aqui curiosamente deu 41/40, que a gente chama de fração imprópria. Mas o que é uma fração imprópria? Bom, a fração própria... Vamos falar de fração própria primeiro, porque a fração imprópria é definida como a fração que não é própria, então a gente tem que saber o que é uma fração própria para saber o que é uma fração imprópria. A fração imprópria é a não própria, tá? Então, uma fração própria é aquela que a gente tem o numerador, que é a parte de cima, menor que o denominador, que é a parte de baixo. Por exemplo, 1/4, 1 é menor que 4, parte de cima menor que a parte de baixo, fração própria. 2/5, a mesma coisa. 2, numerador, 5, denominador. 2/5 é uma fração própria. 3/8 também é uma fração própria. E uma fração imprópria, então, é aquela fração que não é própria. Portanto, a parte de cima deve ser igual, ou maior do que a parte de baixo, que é o caso, 41 é maior que 40. Nesse caso, o que quer dizer essa fração ser imprópria? Bom, nesse caso, a gente sabe, então, que esse valor aqui vai dar maior que 1, ou igual a 1, né? Quando é uma fração imprópria pode ser igual a parte de cima com a de baixo, ou maior a parte de cima do que a de baixo. Então, nesse caso, a gente sabe que esse número vai dar maior que 1, ou seja, ela gastou mais do que tem. Então, se ela pensar que ela pegou o salário dela de 1.500 reais, dividiu em 40 partes, ela gastou 41 partes. Então, das 40 partes disponíveis que ela tinha, ela gastou todas, e ainda gastou uma a mais, que ela vai ficar devendo ainda, que ela vai ter que pagar provavelmente no futuro. Então, nesse caso aqui, a gente poderia resolver o problema também sem necessariamente ver quanto ela gastou em reais. Nesse caso, se você quiser, pode fazer 41/40 de 1500, então a gente poderia sim, tipo, completar ainda mais isso aqui, né? Falar ó: 41/40 é o que ela gastou nesse mês, então é a fração que corresponde a todo o gasto dela, o gasto conjunto das três, com as três despesas principais que ela teve, o aluguel e a alimentação da família, além da despesa extra com os remédios. Então 41/40 de 1.500, que é o salário dela. Então se a gente fizesse essa conta aqui, a gente ia ter 41/40 x 1500, tá? E aí, simplificando aqui, vamos cortar esse 0 aqui, cortar esse 0 aqui, a gente já tinha feito 1500 por 4, tinha dado 375, né? Então 150 aqui, nesse caso, por 4, em vez de 375, vai dar 37,50, e aí a gente vai ter aqui 41 x 37,50. Logo, a gente vai ter aqui 41 x 37,50, ia dar os mesmos 1357,50, que é o quanto ela gastou, né? Tipo, é o quanto ela... Não, não... Opa, está errado aqui, né? É 1537,50, 1537,50. Esse é o valor que ela gastou, na verdade. Então aqui o gasto foi de 1537,50, 41/40 do salário dela, ou seja, de 40 partes do salário, ela gastou 41, então isso deu 1537,50, ela gastou 37,50 a mais do que ela tinha de salário, né? Então não sobrou dinheiro, pior que isso, ficou devendo 37,50 que ela vai ter que pagar futuramente. E você poderia ainda fazer de uma outra forma. Se você não gosta muito de fração, você poderia trabalhar com porcentagem. Então transformaríamos essa fração aqui em porcentagem, essa aqui em porcentagem, essa outra aqui em porcentagem, somaríamos tudo, e aí a gente observaria se deu mais que 100%, se deu igual a 100%, ou se deu menos que 100%. Então, se o gasto dela fosse menos que 100%, aí ela teria uma sobra de dinheiro. Como nesse caso a gente já sabe, se a gente fizer isso, a gente vai ter um valor maior que 100%. Então a gente poderia transformar aqui tudo em fração, em porcentagem, e aí ficaria assim: 1/4 é 1 ÷ 4, né? Então isso aqui dá 25%. Então eu posso transformar 1/4 em 25%. 1/4 é o mesmo que 25%, e aí eu teria esse gasto com o aluguel. 2/5 que é da alimentação com a família, se eu transformar isso aqui em porcentagem é 2 ÷ 5, dá 0,4, isso daqui dá 40%. Então isso aqui é 40% que ela gastou do salário dela com alimentação da família. E aí, 3/8 vai dar 37,5%. 37,5% do salário dela foi com essa despesa extra dos remédios. E aí, se você somar tudo isso aqui, então a gente pode vir aqui e somar todos esses valores, né? Então, somando todos esses valores, a gente ia perceber que isso aqui ia dar 40 + 25 = 65; 65 + 30 = 95, aí passa 2,50, né? Então vai dar 102,5%, ou seja, deu mais de 100%, ela gastou mais do que tinha, a gente já sabia disso também, então a gente poderia concluir essa mesma resposta que a gente já deu nos outros exercícios, tá? Então o gasto dela passou de 100%, ele deu mais que 100%, ela gastou 102,5%, ou seja, além de gastar o que ela tinha, ela ainda vai ficar devendo para ter que pagar esses acréscimos aqui de 2,5% ou 37,50, em meses futuros, já que ela gastou mais do que ela recebeu, tá? Bom, é isso aí, espero que vocês tenham curtido. A gente termina aqui agora esse 2º modo. Já tínhamos feito uma outra maneira lá no vídeo anterior, e a gente encerra esse probleminha com a dica de que a gente pode fazer diferentes abordagens, traçar diferentes estratégias e chegar na mesma resolução, na resolução correta dos problemas, tá? Um abraço, valeu, e a gente se vê na próxima. Até mais.