Explicação do máximo divisor comum

RKA2JV - Bem-vindos à aula sobre máximo divisor comum (MDC). Antes de tudo, quando alguém perguntar a vocês qual é o máximo divisor comum de, digamos, 12 e 8, o que eu quero dizer é que um divisor (ou um fator) é um número que divide o outro em partes iguais. Agora que sabemos disso, vamos calcular o máximo divisor comum entre 12 e 8. O que vamos fazer é muito simples. Em primeiro lugar, nós vamos descobrir os fatores de cada número. Então, vamos escrever todos os fatores do número 12. Bem, 1 é um divisor. 2 cabe em 12 de maneira exata, 3 cabe em 12, 4 cabe em 12, 5 não cabe em 12 de maneira exata. o 6 cabe sim em 12, porque 2 vezes 6 = 12. E, logo, 12 cabe em 12. Então, estes são os fatores do número 12. Vamos escrever os fatores do 8. 1 cabe em 8, 2 cabe em 8, 3 não cabe em 8 de maneira exata, 4 sim, cabe em 8. E o último fator de 8 é o 8. Agora que escrevemos todos os divisores de 12 e 8, vamos ver quais os divisores comuns entre esses dois números. Ambos têm o número 1 como divisor, mas isso não é muito especial, porque praticamente todos os números naturais possuem o 1 como divisor comum. Os dois compartilham o 2. E os dois compartilham o 4. Mas não estamos interessados em encontrar todos os divisores comuns, e sim o máximo divisor comum. Então, os fatores comuns são 1, 2 e 4. Qual é o maior? Bom, aí é fácil: é o 4. Então, o máximo divisor comum de 12 e 8 é 4. Eu vou escrever para enfatizar. O máximo divisor comum de 12 e 8 é igual a 4. Às vezes, pequenas coisas são divertidas. Vamos fazer outro exercício. Qual é o máximo divisor comum de 25 e 20? Bem, vamos fazer do mesmo jeito, fatorando o 25. Bem, tenho o 1. O 2 não cabe em 25 de forma exata, o 3 também não, o 4 também não. O 5 cabe: 5 vezes 5 é 25. E, em seguida, o 25. Percebam que este número só tem três fatores. Eu vou deixar vocês pensarem por que acontece isso. E os outros números tendem a ter um número par de fatores. Agora vamos fatorar o 20. Os fatores de 20 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Se analisarmos, nos daremos conta de que ambos têm como divisor comum o 1. Mas isso não tem nada de especial. Que outro número é um fator comum? Vocês entenderam, é o 5. Então, o máximo divisor comum de 25 e 20 é o 5. Vamos fazer outro exercício. Qual é o máximo divisor comum de 5 e 12? Bom, quais são os divisores de 5? Muito fácil: são 1 e 5. E é assim porque o 5 é um número primo, ou seja, só possui dois divisores: o 1 e ele mesmo. Logo, quais os divisores de 12? 12 tem vários divisores: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Parece que o único divisor que é igual entre eles é o 1. Então, eu suponho que este exercício, de alguma forma, é decepcionante. O máximo divisor comum de 5 e 12 é 1. Agora eu vou explicar a vocês o nome dos termos usados. Quando dois números têm somente um divisor comum, que é o 1, são chamados primos entre si. E este nome faz sentido, porque um número primo é aquele que só tem como divisores o 1 e ele mesmo. E dois números primos entre si são aqueles que só têm o 1 como divisor comum. Eu espero que não tenham se confundido. Vamos resolver outro problema. Vamos calcular o MDC de 6 e 12. Eu já sei que o 12 tem muitos. Vou ser mais criativo ao pensar em algum número. Bem, qual é o máximo divisor comum de 6 e 12? Vamos fatorar o 6. 1, 2, 3 e 6. E os fatores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. O resultado é que o 1 é um fator comum de ambos os números. O 2 também é, o 3 também. E o 6 também. Sendo assim, qual seria o máximo divisor comum de 6 e 12? Bom, é o 6. Isso é muito interessante. Nesta situação, o MDC de 6 e 12 é o 6. Na verdade a resposta é igual a um dos números com os quais estávamos trabalhando. E faz sentido, já que 12 é divisível por 6. Por enquanto é só isso. Espero que tenham aprendido a calcular o MDC. Acho que, para a frente, eu vou abrir mais um módulo, onde eu vou botar mais exemplos deste problema.