Problemas de MMC e MDC

RKA - Guilherme e Luís estão em classes diferentes de física no Colégio Santa Rita. O professor de Luís sempre dá provas com 30 perguntas, enquanto que o professor de Guilherme dá provas mais frequentes com apenas 24 perguntas. E o professor de Luís também pede três projetos por ano. Embora as duas classes tenham que fazer um número diferente de provas, seus professores disseram aos alunos que as duas classes, melhor sublinhar, as duas classes responderão o mesmo número de perguntas a cada ano. Qual é o número mínimo de perguntas que a classe de Guilherme ou de Luís pode esperar responder em um ano? Vamos pensar. O professor do Luís dá 30 perguntas por teste, então, depois do primeiro teste ele vai ter respondido 30 perguntas. Isto é zero, depois do segundo teste terá respondido 60, depois do terceiro teste, 90, em seguida do quarto teste terá respondido 120, e após o quinto teste, se tiver um quinto teste, ele terá respondido a um total de 150 perguntas. Dá para continuar olhando para todos os múltiplos de 30, que é uma pista sobre esta forma de pensar. Este é o caso do Luís, e estamos vendo múltiplos dos números, e a gente quer os múltiplos mínimos, ou o múltiplo mínimo. O que está acontecendo com o Guilherme? Depois do primeiro teste, o professor do Guilherme disse que ele respondeu 24 perguntas, depois do segundo teste, 48 perguntas. Em seguida, 72. E no quarto teste, 96. Agora estou pegando apenas múltiplos de 24. Ele terá respondido 96 perguntas depois do quarto teste. E por fim, no quinto, 120. Se tiver um sexto teste, 144. Dá para continuar olhando para os múltiplos, mas vamos ver o que nos pedem. Qual é o número mínimo de perguntas que a classe do Guilherme ou Luís pode esperar responder em um ano? O número mínimo é de respostas que os dois responderam, apesar de terem feito testes com a quantidade diferente de questões. E veja que o ponto em comum é o 120, isso acontece em 120. Os dois poderiam ter exatamente 120 perguntas, mesmo que o professor do Luís dê 30 perguntas por vez, e o do Guilherme 24 por vez, a resposta é 120. Observe que eles tinham um número diferente de provas, Luís teve uma, duas três, quatro provas, enquanto que o Guilherme teve uma, duas, três, quatro, cinco provas. Mas isso totaliza 120 perguntas para os dois. Agora, pensando em termos de notação matemática, ou da notação do mínimo múltiplo comum, o MMC, que já vimos, o que está sendo pedido, realmente, é o mínimo múltiplo comum de 30 e 24. E o mínimo múltiplo comum é igual a 120. Existem outras maneiras para encontrar um mínimo múltiplo comum, do que apenas olhar para os múltiplos dessa forma. Vocês poderiam responder a questão através da fatoração em fatores primos. 30 é 2 vezes 15, que é 3 vezes 5. Dá para falar que 30 é igual a 2 vezes 3, vezes 5. E 24, essa é uma cor diferente do azul, 24 é igual a 2 vezes 12, 12 é igual a 2 vezes 6, 6 é igual a 2 vezes 3, 24 é igual a 2 vezes 2, vezes 2, vezes 3. Portanto, outra forma de descobrir o mínimo múltiplo comum, mesmo se não tivesse feito esse exercício aqui, olhem, o número deve ser divisível tanto por 30 como por 24. Se ele for divisível por 30, terá que ter 2 vezes 3, vezes 5 na sua fatoração em fatores primos, basicamente é 30. Assim, isso o torna divisível por 30. Digamos, para ser divisível por 24, sua fatoração de primos precisa de três números "2", e um "3", ou, 2 vezes 2, vezes 2, vezes 3. A gente já tem um "3", já tem um "2", então só precisamos de mais dois "2". 2 vezes 2. O resultado é que, isto em cima, o torna divisível por 24, e basicamente é a fatoração de primos do mínimo múltiplo comum de 30 e 24. Se tirarem qualquer um desses números, ele não será mais divisível por qualquer um desses dois números, e se tirarem um 2, ele não será mais visível por 24. E se tirarem um 2, ou um 3, ou um 3 ou um 5, ele não será mais divisível por 30. Portanto, se fosse multiplicar todos, seria 2 vezes 2, vezes 2, é 8, vezes 3, é 24, vezes 5, vai dar 120. Vamos fazer mais um. Eliana acabou de comprar um pacote com 21 pastas, vou anotar esse número, 21 pastas. Ela também comprou um pacote com 30 lápis. E quer usar todas as pastas e os lápis para formar conjuntos idênticos de materiais de escritório para seus colegas. Qual é o maior número de conjuntos idênticos que Eliana pode fazer usando todos os materiais? O fato de falar sobre o maior número é uma pista de que provavelmente vamos trabalhar com os maiores divisores comuns, e também vamos trabalhar com a divisão desses itens. A gente quer dividir os dois no maior número de conjuntos idênticos. Dá para pensar de duas formas, vamos pensar sobre qual é o maior divisor comum, ou o MDC desses dois números, ou também poderia dizer o maior fator comum, o maior divisor comum de 21 e 30. Qual é o maior número que é dividido pelos dois números? Vamos trabalhar com fatores primos. Dá para listar todos os seus fatores normais e ver qual é o maior fator comum. Ou, usar a fatoração em fatores primos. Vamos então, usar o método de fatoração em fatores primos, que é o meu preferido. Então, 21 é a mesma coisa que 3 vezes 7, os dois são números primos. 30 é, na verdade, posso escrever como 2 vezes 15, acabamos de fazer isso, e 15 é 3 vezes 5. Qual é o maior número, de números primos, que é comum às duas fatorações? A gente tem só um 3 aqui, e não tem um 3 vezes outra coisa, isso será igual a 3. Isso diz, portanto, que basicamente a gente pode dividir esses dois números por 3, que vamos ter o maior número de conjuntos idênticos. E só para esclarecer: a gente disse que a resposta é 3, mas, só para visualizar para essa pergunta, vamos desenhar 21 pastas. 21 pastas, então, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, e 21. A seguir, os 30 lápis desenhados em verde, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Vou copiar e colar, né? Já está ficando chato! Copiar e colar. Então, a gente tem 20, vamos colar, e agora tem 30. A gente descobriu que 3 é o maior número dividido igualmente por esses dois números, posso dividir esses dois em grupos de 3. Para as pastas, posso dividir em 3 grupos de 7, e para os lápis, posso dividir em 3 grupos de 10. Portanto, se tiver 3 pessoas que estão nessa classe, eu poderia dar para cada uma delas 7 pastas e 10 lápis. Eliana pode fazer 3 conjuntos idênticos, esse é o maior número de conjuntos que ela pode fazer, cada um deles vai ter 7 pastas e 10 lápis. Basicamente, aqui pensamos sobre qual número dá para dividir os dois conjuntos de forma idêntica. Parabéns, Eliana! Você é muito legal!