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Soluções de sistemas de equações: consistentes versus inconsistentes

Um sistema de equações consistente tem pelo menos uma solução, e um sistema inconsistente não tem nenhuma solução. Assista a um exemplo de análise de um sistema para ver se ele é consistente ou inconsistente. Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.

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RKA - Verifique se o sistema de equações abaixo é consistente ou não. As equações são: "x + 2y = 13" e "3x - y = -11" Para responder à questão é preciso saber o que significa consistente e inconsistente para um sistema de equações. Um sistema de equações consistente tem pelo menos uma solução; e um sistema não consistente, ou inconsistente, não tem soluções. Então, se pensar no gráfico, que cara teria um gráfico de um sistema consistente? Eu vou traçar um gráfico. Este é meu eixo "x", e este é meu eixo "y" Se há apenas duas retas com uma intersecção, isso seria um sistema consistente. Esta é uma reta, e esta é a outra... claramente, tem uma solução, que é o ponto onde se tocam. Então, seria um sistema consistente. Outro exemplo de sistema consistente seria as duas retas se sobrepondo, pois, dessa forma, haveria um monte de pontos de intersecção. Na verdade, um número infinito de pontos. Então, digamos que uma das retas seja assim; e a outra reta, exatamente, a mesma reta. A segunda está em cima da primeira. Os pontos de intersecção seriam todos os pontos das retas; que seria consistente. Um sistema inconsistente não teria soluções. Vou traçar os eixos novamente... desenhar os dois eixos... Não haverá soluções. A única forma de ter duas retas em duas dimensões e não haver soluções é que não há intersecção das duas, ou seja, são paralelas. Uma das retas seria assim, e a outra reta teria o mesmo coeficiente angular, mas estaria deslocada. Ela tocaria o eixo "y" num ponto diferente e seria um sistema inconsistente. Duas retas paralelas. Isso aqui é inconsistente. Então, podemos simplesmente traçar um gráfico das duas retas e descobrir se ela se tocam. Outra forma de fazer é verificar o coeficiente angular delas. Se elas têm o mesmo coeficiente angular e interceptam "y" em pontos diferentes, também seria um sistema inconsistente. Vamos fazer os gráficos. Traçando o eixo "x"... o eixo "y"... Isto é "x", e isto é "y". Tem alguns jeitos de fazer. O jeito mais fácil é achar dois pontos que satisfaçam as duas equações, que seria o bastante para traçar uma reta. Para essa primeira, vamos fazer uma tabela de valores de "x" e "y". Quando "x" é igual a "0", tem "2y" é igual a 13. Então, "y" é igual a "¹³∕₂", que é o mesmo que "6 ½". Se "x = 0", "y = 6 ½". Vou colocar isso aqui... é (0, ¹³∕₂). E vamos ver o que acontece quando "y" é igual a "0". Se "y" é igual a "0", 2 vezes "y" é igual a "0", e "x" vai ser igual a 13. "x" é igual a 13; então, tem o ponto (13, 0). E isto é (0, 6 ½). Então, (13, 0) seria por aqui. Estamos tentando aproximar... (13, 0)... essa reta... essa equação pode ser representada por essa reta. Vou tentar traçar a reta, que é, mais ou menos, assim. Agora, vamos pensar na outra. É bom fazer outra tabela de valores para "x" e "y"; estou tentando achar dois pontos para o gráfico. Então, quando "x" é igual a "0", 3 vezes "0" é igual a "0"... a gente tem "-y = -11", ou "y = 11". E tem o ponto (0, 11), aqui. (0, 11) é um ponto da reta. Se "y" é igual a "0", tem "3x - 0 = -11", ou "3x = -11", ou, se dividirmos os dois lados por 3 chegamos a "x = -¹¹∕₃"; e é o mesmo que "-3 ⅔". Então, se "y = 0", tem "x = -3 ⅔". Isso é, mais ou menos, 6; então, "-3 ⅔" será, mais ou menos, aqui. Esse é o ponto (-¹¹∕₃, 0). A segunda equação será, mais ou menos, assim... mais ou menos, assim. Obviamente, (e talvez esse gráfico não seja muito preciso por ter sido desenhado à mão) claramente, as duas vão se cruzar. A intersecção será por aqui. E, para responder à questão, nem precisa determinar onde elas se cruzam; só tem que saber que as duas retas claramente se cruzam. Esse sistema de equações é consistente e tem uma única solução. Só é necessária uma solução para o sistema ser consistente. De novo, este é um sistema de equações consistente.