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Soluções de sistemas de equações: dependentes versus independentes

Um sistema de equações dependente tem infinitas soluções, e um sistema independente tem uma única solução. Assista a um exemplo de análise de um sistema para ver se ele é dependente ou independente. Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.

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Transcrição de vídeo

RKA - O sistema de equações lineares abaixo é dependente ou independente? Foram dadas duas equações. Antes de começar, vamos rever o que significa dependente ou independente. Vou aproveitar e comparar isso a consistente e inconsistente. Quando lidamos com sistemas de equações lineares em duas dimensões, há apenas três possibilidades de relacionamento que as retas podem ter entre si. Vou ilustrar as possibilidades e traçar três conjuntos de eixos. Esses são meus eixos x e y. Vou desenhar mais um. Aqui estão o x e o y. Vou fazer mais um, porque existem três possibilidades em duas dimensões. X e y, se estamos lidando com equações lineares. Na primeira situação as retas se cruzam em um ponto. Vou demonstrar. Você teria uma reta assim e talvez outra assim. Elas se cruzam em um ponto. Outra situação é quando as duas retas são paralelas. Nessa situação, vou desenhar mais pra cá, tem uma reta assim e outra reta com a mesma inclinação, mas deslocada, ela intercepta y num ponto diferente, e elas não se cruzam. Tem a situação na qual elas são a mesma reta, então as duas retas têm a mesma inclinação e cruzam y no mesmo ponto. Elas são realmente a mesma reta e vão se cruzar em um número infinito de pontos, cada ponto dessa reta também é um ponto da outra reta. Só para estabelecer a tecnologia, esse tipo de sistema no qual elas não se cruzam, esse sistema que não tem soluções, é chamado de sistema inconsistente. Por definição, usando o oposto de inconsistente, essas duas opções são consistentes. As duas são consistentes. Mas mesmo as duas sendo consistentes, elas são diferentes. Aqui tem apenas uma solução, essas duas retas têm apenas um ponto de intersecção, e aqui são basicamente a mesma reta, a diferença entre essas duas possibilidades, é que essa eu chamo de independente, "independente", e esta outra de dependente, "dependente". Independente: as retas só ligam para o que elas mesmas estão fazendo, não dependem uma da outra, não são a mesma reta e só se cruzam em um ponto. Dependente: elas são a mesma reta, qualquer ponto de uma equação satisfaz a outra, qualquer ponto que satisfaz uma equação vai satisfazer a outra. Dito isso, vamos ver se esse sistema de equações lineares é dependente ou independente. Estamos de certa forma assumindo que será consistente que elas se cruzam em um ponto ou em um número infinito de pontos. o jeito mais fácil de fazer, e já tem nessa segunda equação, ela já está na forma de equação reduzida da reta. Sabemos que o coeficiente angular é -2, ela cruza y em 8. Vamos colocar a primeira equação na mesma forma e verificar se tem um coeficiente angular ou cruza y em pontos diferentes. Talvez seja a mesma reta. Então, teremos 4x mais 2y é igual a 16, dá para subtrair 4x dos dois lados, queremos isolar y no lado esquerdo, então vamos subtrair 4x dos dois lados. Do lado esquerdo vai sobrar apenas 2y e do lado direito teremos -4x mais 16. Só escrevi o - 4 na frente do 16 para colocar a equação na forma da equação reduzida da reta. Agora dá pra dividir os dois lados por 2 para isolar o y no lado esquerdo. Dividindo os dois lados por 2 chegamos em y é igual a -4 dividido por 2 é igual a -2x + 16 sobre 2 mais 8, só usei álgebra para manipular a equação de cima, e ao fazer isso basicamente resolvi para y, cheguei nisso aqui que é exatamente o mesmo que a segunda equação. A gente tem o mesmo coeficiente angular -2, e elas cruzam y no mesmo ponto, 8. Se eu fizer os gráficos dessas equações, tem o meu eixo x e o eixo y. As duas interceptam y no 8, com um coeficiente angular de -2. Elas vão ser mais ou menos... é só uma aproximação, vão ser mais ou menos assim. Então esta seria essa equação aqui, a primeira equação. A segunda teria o mesmo gráfico, elas têm o mesmo coeficiente angular e cruzam y no mesmo ponto, então essas retas são dependentes, têm um número infinito de pontos em comum entre as duas, pois são a mesma reta. Até o próximo vídeo.