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Sistemas de equações com eliminação: café e croissants

Neste vídeo, resolvemos um problema sobre o preço de um café e um croissant por meio de um sistema de equações. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Você está em um café em Paris, acompanhado de um amigo. Um parisiense na sua frente compra uma xícara de café e um croissant por cinco reais e trinta centavos. Quando você e seu amigo pedem dois cafés e dois croissants, a conta dá 14 reais. Será que podemos descobrir o preço de um café e do croissant usando as informações em um sistema de equações lineares com duas variáveis? Se sim, qual é a solução? Se não, por que não podemos? Estamos procurando duas coisas: o preço de um café e o preço de um croissant. Vamos então definir duas variáveis. Como a gente tem todos esses "c", eu vou usar x e y. Digamos que x é igual ao preço de uma xícara de café e digamos que y é o preço de um croissant. Preço de um croissant. Primeiro, tem essa informação que o parisiense na nossa frente trouxe: ele comprou uma xícara de café e um croissant por cinco reais e trinta centavos. Como representamos isso como uma equação? A gente tem uma xícara de café, vai ser 1x, ou poderia só escrever x, mais 1y por que ele comprou um croissant e o preço foi cinco e trinta. Cinco reais e trinta centavos. Assim, esta equação descreve o que aconteceu com o parisiense: ele comprou uma xícara de café, um croissant e pagou 5,30. Agora, quando você e seu amigo pediram duas xícaras de café e dois croissants, pagaram 14 reais. Qual é a equação para descrever isso? Eles cobraram duas vezes o preço de uma xícara de café, então é 2x. Depois, eles cobraram duas vezes o preço de um croissant, então mais 2y. A soma deles deve ser o valor total que foi cobrado de vocês. Eles cobraram 14 reais. Vamos ver agora se conseguimos resolver esse sistema de equações. Tem muitas, muitas, muitas formas de resolver, mas a mais óbvia é que tem x, tem 2x, tem y e 2y. Vamos pegar essa primeira equação que descreveu o parisiense e multiplicá-la por dois. Só multiplicá-la por 2. Os dois lados, senão não teremos mais a igualdade. Obtemos então que 2x + 2y é igual a 2 vezes cinco e trinta, que é dez reais e sessenta. Agora, está acontecendo uma coisa muito interessante. Se o parisiense tivesse comprado o dobro de xícaras de café e o dobro de croissants, teria pagado 10 reais e 60 e isso seria o mesmo número de cafés de croissants que vocês pediram. Mas vocês pagaram catorze. Ficou bem claro que cobraram um valor diferente. Vocês pagaram o preço de turista pela xícara de café e o croissant enquanto ele pagou o preço local. A gente pode comprovar que não tem nenhum x e y que satisfaça isso, e faz sentido mesmo do ponto de vista lógico, 2x mais 2y são 14, 2x + 2y são 10,60. E a gente poderia mostrar também que não faz sentido do ponto de vista matemático, se subtraísse essa equação de baixo dessa aqui em cima, basicamente imaginaria multiplicar toda a equação de baixo por menos um. Vamos então multiplicar toda equação de baixo por menos um e depois somar essas duas equações. Lembre-se, tudo que estamos fazendo é começar com essa equação e vamos somar a mesma coisa os dois lados, vamos somar a esse lado, e já sabemos que menos 10,60 é a mesma coisa que isso. Vamos somar a esse lado. Do lado esquerdo isso se cancela com isso, isso se cancela com isso e ficamos com 0. No lado direito, 14 - 10,60 vai dar 3,40, e não tem nenhum x e y em que podemos pensar, não tem nenhum x e y mágicos que possam de repente fazer com que o zero seja igual a 3,40, então não tem nenhuma solução. A única explicação é que o parisiense pagou um preço local mais baixo, e não sei porque foi em reais e não em euros.