Exemplo prático: sistemas equivalentes de equações

RKA - O professor de Vivek e Camila deu para eles um sistema de equações lineares para resolverem. Cada um deles deu alguns passos que levaram aos sistemas mostrados na tabela abaixo. Aqui nós temos o sistema original do professor. Aqui nós temos o que o Vivek conseguiu após fazer algumas operações com o sistema do professor e aqui o que a Camila conseguiu após fazer algumas operações também com o sistema original. Qual deles obteve um sistema que é equivalente ao sistema do professor? E para a gente, eu vou considerar um sistema equivalente aquele que tiver as mesmas soluções do sistema do professor, o original. Então, esse sistema do professor vai ter soluções que geram um par ordenado x, y. Se o sistema do Vivek tiver o mesmo par ordenado como solução, então o sistema do Vivek vai ser equivalente ao do professor. Da mesma forma, se o sistema que a Camila obteve tiver o mesmo par ordenado x, y que o do professor o da Camila também será um sistema equivalente. Então, vamos analisar como funciona isso. Vamos começar essa nossa análise com o sistema obtido pelo Vivek. Perceba que a primeira equação do professor era x + 2y = -1. Do Vivek, a primeira equação é x + 2y = -1. Então, qualquer par ordenado que resolva essa primeira equação, o sistema do professor, com certeza vai ser uma solução para essa primeira equação do Vivek. Agora, perceba, a segunda equação: -3x + 7y = 0 não é uma equação digamos proporcional a essa do professor. Ele não multiplicou, por exemplo, essa equação do professor, a segunda, por algum número para obter essa até porque se ele multiplicasse por zero, por exemplo, já que esse 1 virou zero, se ele multiplicasse por zero, a gente teria que o seguinte. Isso dá zero, isso também. Zero é igual a zero. E você percebe que não é isso que ele fez. Então, possivelmente ele somou ou subtraiu coisas aqui em ambos os lados para obter essa equação. Vamos analisar mais ou menos o que ele fez aqui. Ele tinha essa equação original: -4x + 5y = 1. Vamos ver o que ele fez para obter essa. Daqui, ele obteve -3x + 7y = 0. Vamos analisar o que ele precisou fazer para obter essa equação aqui de baixo. Do -4x ele passou para -3x. Quer dizer que teve que adicionar x, então vou colocar um x aqui. Do 5y passou para 7y, então teve que somar 2y. E você percebe que nesse lado esquerdo da equação original do professor, a primeira, é exatamente isso aqui. E no igual, aqui do 1 ele passou para o zero, então ele teve que subtrair 1 desse lado, do lado direito. E você percebe que a gente tem -1 também. Então, o que ele fez foi somar essa equação com aquela outra, que o professor obteve originalmente, e ele obteve -3x + 7y = 0. Perceba que essa operação que ele fez é legítima. Não importa. Isso daqui vai dar uma equação linear diferente dessa. Porém, o mesmo par x, y que vai resolver esse problema, vai resolver o problema do Vivek. Não entendeu por que isso dá a mesma solução nessas duas equações? Não importa qual é o par x, y. Se o par x, y vai resolver esse sistema, com certeza vai resolver esse também. Porque para manter a mesma solução, tudo que eu fizer do lado esquerdo tem que ser igual ao do lado direito. E se esse par x, y resolve essa equação aqui e também essa equação debaixo me dá valores iguais, como estou somando coisas iguais, porque x + 2y = -1, esse par ordenado x, y vai resolver ambas as equações, estou adicionando coisas iguais em ambos os lados, então essa nova equação aqui -3x + 7y = 0 vai ter também esse mesmo par como solução. Logo, as operações que o Vivek fez são operações perfeitamente legítimas e essa segunda equação aqui também vai ter as mesmas soluções. Logo, o sistema do Vivek é equivalente ao sistema do professor. Agora, vamos analisar o que a Camila obteve. Perceba que essa primeira equação da Camila é idêntica à segunda equação do professor. Agora vamos analisar a segunda equação da Camila. A segunda equação linear dela. -8x -16y = 8. Como que será que essa equação se relaciona com essa primeira equação do professor? Perceba que esse -1 do lado direito se tornou um 8. Então, isso quer dizer que ela multiplicou possivelmente, ao analisar tanto o lado esquerdo quanto o lado direito. Parece que ela multiplicou por -8. E, de fato, perceba que do lado esquerdo da igualdade também essa primeira equação se relaciona com essa da Camila em uma multiplicação por menos -8. Ela multiplicou por -8. E perceba que x vezes -8 vai dar -8x. E 2y vezes -8 vai dar -16y. E como nós estamos multiplicando essa primeira equação por um número escalar, no caso aqui -8, eu não altero as soluções desse sistema no final das contas. Ou seja, se eu adicionar o lado esquerdo ao lado esquerdo e o lado direito ao lado direito, como o Vivek fez, nesse caso não altero também as soluções. Então, o que for solução para esse sistema vai resolver também o sistema do Vivek. Da mesma forma, a Camila como tem essa primeira equação igual à segunda do professor, e a segunda ela multiplicou por um número qualquer, digamos -8, mas multiplicou em ambos os lados pelo -8. Então, ela não vai alterar também as soluções do sistema. A mesma solução que o professor tiver para o sistema dele, a Camila vai ter para o dela. Então, ambos os sistemas, tanto do Vivek quanto da Camila, são equivalentes ao sistema do professor. Até o próximo vídeo!