Sequência numérica ou figural não recursiva

RKA - E aí, pessoal, tudo bem? O objetivo deste vídeo é relembrar a você, sequência. E eu vou colocar aqui para vocês, duas sequências. Então, a primeira é {1, 4, 7, 10, 13} E a segunda é {5, 10, 15, 20, 25, ...} e assim por diante. Mas o que é uma sequência? Eu não falei, não é? Pois é, uma sequência é todo o grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem. Observe que aqui nós temos uma ordem, e aqui também temos uma ordem. Agora, observe que esta sequência, ela é chamada de sequência finita, isso porque nós conhecemos o primeiro termo e também o último termo, ou seja, nós sabemos que esta sequência tem um total de 5 termos. Então, eu posso escrever que esta sequência é finita. Então, uma sequência que você conhece o primeiro e o último termo, é uma sequência finita. Agora, se nós olharmos para esta sequência, nós conhecemos o primeiro termo, que é 5, mas não conhecemos o último termo, nós temos essas reticências aqui. Ou seja, o último termo não está bem definido, então esta é uma sequência infinita, já que não conhecemos o número total de termos. Então, aqui é uma sequência infinita. Então, para isso ficar bem claro, observe que aqui nós temos 5 termos, então os termos estão bem definidos, então essa sequência possui 5 termos. Já esta outra sequência, nós não conseguimos determinar todos os termos e, por isso, nós temos "n" termos, ou seja, o número de termos não está bem definido. Então, vamos dar nomes a cada um desses termos. Então, a minha primeira sequência aqui, que possui 5 termos, eu posso chamar esse primeiro aqui de "a₁", o segundo termo de "a₂", o terceiro termo de "a₃", o quarto de "a₄", e por fim o quinto de "a₅". Observe que são 5 "a", porque nós temos 5 termos, e eu quero que você note uma coisa muito importante. Observe que do 1 para o 4 nós somamos 3, correto? E do 4 para o 7 nós também somamos 3. A mesma coisa acontece do 7 para o 10, somamos 3, e por fim, 10 mais 3 dá 13. Então, observe que este número que nós estamos somando, que no caso é o 3, nós chamamos de razão. Então, deixa eu colocar aqui que a minha razão é igual a 3. E sabe qual é o interessante? Aqui nós temos uma sequência que chamamos de recursiva, ou seja, nós determinamos um termo a partir do termo anterior. Então, por exemplo, para eu obter "a₂", que eu vou colocar aqui, "a₂", eu pego o termo anterior, que é o "a₁", então "a₁" mais a razão, então mais 3, Ok, mas quanto vale "a₁"? Nós percebemos que "a₁" é igual a 1. Então, o "a₂" vai ser 1 mais 3, que é igual a 4. E realmente, o "a₂" vale 4. Eu posso fazer a mesma coisa com o "a₃". Então, eu posso colocar que "a₃" é igual o termo anterior, que é "a₂", mais a razão, que é 3, então observe que o "a₂" é igual a 4 então 4 mais 3. E aí, "a₃" é igual a 7. E de fato, se nós olharmos na nossa sequência, o "a₃" vale 7. Então, observe que aqui nós temos um tipo especial de sequência. E essa sequência nós chamamos de recursiva, ou seja, nós podemos determinar o termo em função do termo anterior. O mesmo acontece aqui, na sequência infinita. Só que dessa vez, observe que eu estou somando 5 em cada termo que eu avanço. Então, mais 5 aqui, mais 5 aqui, e por fim mais 5 aqui. E eu posso continuar fazendo isso infinitamente, já que eu não conheço o último termo. Agora, imagine que você queira achar, nessa sequência, o "a₆", que é o sexto termo dessa sequência. Como eu poderia fazer isso? Observe que eu só tenho os 5 primeiros temos dessa sequência, Então, aqui "a₁", "a₂", "a₃", “a₄", e "a₅". Então, como essa sequência é uma sequência recursiva, para eu achar o "a₆", eu posso pegar o "a₅" e somar com a razão. Então. "a₆" é igual a "a₅", mais a razão, observe que a razão é 5, e aí eu tenho que "a₆" é igual a "a₅" mais 5. Será que eu tenho "a₅" na minha sequência? Claro que eu tenho. Observe que "a₅" é igual a 25, então eu vou ficar com 25 mais 5, e aí o meu "a₆" é igual a 30. Então, independentemente da sequência ser finita ou infinita, ela pode ser recursiva, então para uma sequência ser recursiva, nós precisamos apenas conhecer o termo anterior e sua razão. Se nós conhecemos uma sequência recursiva, será que nós podemos saber quando uma sequência não é recursiva? Vou apagar isso aqui, para nós vermos uma sequência não recursiva. Então, deixa eu colocar o exemplo aqui, eu vou colocar a sequência de números primos, que são {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} e assim sucessivamente. Então, se essa sequência fosse recursiva, eu posso colocar aqui os meus termos, que são "a₁", "a₂", "a₃", "a₄", "a₅", e por fim "a₆", e aí se nós observarmos o crescimento de um termo para o outro, nós temos que aqui nós somamos 1, do 3 para o 5 nós somamos 2, do 5 para o 7, nós somamos 2, do 7 para o 11, nós somamos 4, e do 11 para o 13, nós somamos 2. E isso está meio estranho, porque observe que antes, nós somamos uma mesma razão, tanto na sequência finita, quanto na sequência infinita. Já aqui, nós somamos 1, depois somamos 2, depois somamos 2, e fomos mudando cada vez a nossa razão, ou seja, a nossa razão não está bem definida. Então, a razão é “não definida”. E é por isso que não conseguimos achar o "a₇" desta maneira aqui. Isso porque a razão não está bem definida, ou seja, o "a₇" seria o "a₆" mais a razão, o "a₆" nós até conseguimos descobrir, que é o 13, mas a razão nós não sabemos. Ela não está bem definida, e claro, existem outras maneiras de descobrir termos de uma sequência, por exemplo, esta sequência aqui é uma sequência de números primos, e nós sabemos que os números primos são números que só podem ser divididos por 1 e por ele mesmo. E, por isso, o próximo número que só é dividido por ele mesmo e por 1, é o 17. E quando isto acontece, nós temos uma sequência não recursiva. Então, na sequência não recursiva, como nós não temos uma razão bem definida, precisamos pensar em outro jeito de descobrir os seus termos. Então é isso aí pessoal, até a próxima aula!