Conteúdo principal
Matemática EF: 8º Ano
Curso: Matemática EF: 8º Ano > Unidade 4
Lição 1: Sequência numéricaSequência numérica ou figural não recursiva
Relembre o que são sequências recursivas e não recursivas além de aprender a identificar termos desse tipo de sequências.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA - E aí, pessoal, tudo bem? O objetivo deste vídeo é relembrar a você, sequência. E eu vou colocar aqui para vocês, duas
sequências. Então, a primeira é {1, 4, 7, 10, 13} E a segunda é {5, 10, 15, 20, 25, ...} e assim por diante. Mas o que é uma sequência?
Eu não falei, não é? Pois é, uma sequência é todo o
grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem.
Observe que aqui nós temos uma ordem, e aqui também temos uma ordem.
Agora, observe que esta sequência, ela é chamada de sequência finita, isso
porque nós conhecemos o primeiro termo e também o último termo, ou seja, nós
sabemos que esta sequência tem um total de 5 termos. Então, eu posso
escrever que esta sequência é finita. Então, uma sequência que você conhece
o primeiro e o último termo, é uma sequência finita.
Agora, se nós olharmos para esta sequência, nós conhecemos o primeiro
termo, que é 5, mas não conhecemos o último termo, nós
temos essas reticências aqui. Ou seja, o último termo não está bem
definido, então esta é uma sequência infinita, já que não conhecemos o número
total de termos. Então, aqui é uma sequência infinita. Então, para isso ficar bem claro, observe que aqui nós temos 5 termos, então os termos estão bem
definidos, então essa sequência possui 5 termos. Já esta outra sequência, nós não conseguimos determinar todos os termos e, por isso, nós temos "n" termos, ou seja, o número de termos não está bem definido. Então, vamos dar nomes a cada um desses termos.
Então, a minha primeira sequência aqui, que possui 5 termos, eu posso
chamar esse primeiro aqui de "a₁", o segundo termo de "a₂",
o terceiro termo de "a₃", o quarto de "a₄", e por fim o quinto de "a₅". Observe que são 5 "a", porque nós temos 5 termos, e eu quero que você
note uma coisa muito importante. Observe que do 1 para o 4 nós somamos 3, correto? E do 4 para o 7 nós também somamos 3. A mesma coisa acontece do
7 para o 10, somamos 3, e por fim, 10 mais 3 dá 13. Então, observe que
este número que nós estamos somando, que no caso é o 3, nós chamamos de razão.
Então, deixa eu colocar aqui que a minha razão é igual a 3. E sabe qual é o interessante? Aqui nós temos uma sequência que chamamos de recursiva, ou seja, nós determinamos um
termo a partir do termo anterior. Então, por exemplo, para eu obter "a₂",
que eu vou colocar aqui, "a₂", eu pego o termo anterior, que é o "a₁",
então "a₁" mais a razão, então mais 3, Ok, mas quanto vale "a₁"?
Nós percebemos que "a₁" é igual a 1. Então, o "a₂" vai ser 1 mais 3, que é igual a 4. E realmente, o "a₂" vale 4. Eu posso fazer a mesma coisa com o "a₃". Então, eu posso colocar que "a₃" é igual o termo anterior, que é "a₂",
mais a razão, que é 3, então observe que o "a₂" é igual a 4 então 4 mais 3. E aí, "a₃" é igual a 7. E de fato, se nós olharmos na nossa sequência, o "a₃" vale 7. Então, observe que aqui nós temos um tipo
especial de sequência. E essa sequência nós chamamos de
recursiva, ou seja, nós podemos determinar o termo em função do termo
anterior. O mesmo acontece aqui, na sequência
infinita. Só que dessa vez, observe que eu estou
somando 5 em cada termo que eu avanço. Então, mais 5 aqui,
mais 5 aqui, e por fim mais 5 aqui. E eu posso continuar fazendo
isso infinitamente, já que eu não conheço o último termo.
Agora, imagine que você queira achar, nessa sequência, o "a₆",
que é o sexto termo dessa sequência. Como eu poderia fazer isso? Observe que eu só tenho os 5
primeiros temos dessa sequência, Então, aqui "a₁", "a₂", "a₃", “a₄", e "a₅". Então, como essa
sequência é uma sequência recursiva, para eu achar o "a₆",
eu posso pegar o "a₅" e somar com a razão. Então. "a₆" é igual a "a₅",
mais a razão, observe que a razão é 5, e aí eu tenho que "a₆" é igual a "a₅" mais 5. Será que eu tenho "a₅" na minha sequência?
Claro que eu tenho. Observe que "a₅" é igual a 25, então eu vou ficar com
25 mais 5, e aí o meu "a₆" é igual a 30. Então, independentemente da
sequência ser finita ou infinita, ela pode ser recursiva, então para uma
sequência ser recursiva, nós precisamos apenas conhecer o termo anterior e sua razão. Se nós conhecemos uma sequência recursiva, será que nós podemos saber
quando uma sequência não é recursiva? Vou apagar isso aqui, para nós vermos
uma sequência não recursiva. Então, deixa eu colocar o exemplo aqui, eu vou colocar a sequência de números primos,
que são {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} e assim sucessivamente. Então, se essa sequência fosse recursiva, eu posso colocar aqui os meus termos, que são "a₁", "a₂", "a₃", "a₄", "a₅", e por fim "a₆", e aí se nós observarmos o crescimento de
um termo para o outro, nós temos que aqui nós somamos 1, do 3 para o 5 nós somamos 2, do 5 para o 7, nós somamos 2, do 7 para o 11, nós somamos 4, e do 11 para o 13, nós somamos 2. E isso está meio estranho, porque observe que antes, nós somamos uma mesma razão, tanto na sequência finita, quanto na sequência infinita. Já aqui, nós somamos 1, depois somamos 2, depois somamos 2, e fomos mudando
cada vez a nossa razão, ou seja, a nossa razão não está bem definida. Então, a razão é “não definida”. E é por isso que não conseguimos achar o "a₇" desta maneira aqui. Isso porque a razão
não está bem definida, ou seja, o "a₇" seria o "a₆" mais a razão,
o "a₆" nós até conseguimos descobrir, que é o 13,
mas a razão nós não sabemos. Ela não está bem definida, e claro,
existem outras maneiras de descobrir termos de uma sequência, por exemplo,
esta sequência aqui é uma sequência de números primos, e nós sabemos que os
números primos são números que só podem ser divididos por 1 e por ele mesmo. E,
por isso, o próximo número que só é dividido por ele mesmo e por 1, é o 17. E quando isto acontece, nós temos uma sequência não recursiva.
Então, na sequência não recursiva, como nós não temos uma razão bem
definida, precisamos pensar em outro jeito de descobrir os seus termos. Então é isso aí pessoal,
até a próxima aula!