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Incentro e circunferências inscritas de um triângulo

Transcrição de vídeo

tem um triângulo abc aqui e no último começamos a explorar algumas das propriedades de pontos que estão nas diretrizes dos ângulos internos quero fazer isso pra vocês só pra ver o que acontece quando aplicamos algumas dessas idéias aos triângulos aos ângulos internos dos triângulos vamos tomar a bissectriz desse ângulo aqui ângulo b à c deixa desenhar uma biz e 3 desse ângulo a bissectriz desse ângulo pode ser mais ou menos assim quero ter certeza de que tenho esse ângulo bem próximo então parece estar bem próximo essa é a bissectriz desse ângulo vamos chamar esse ponto aqui sei lá poderia chamar isso de ponto de aí deixa desenhar uma outra bissectriz desse ângulo a bissectriz do ângulo abc deixou desenhar essa aqui parece uma coisa como essa que posso te chamar esse ponto de a de é a bissectriz do ângulo b à c e b e ab cetris do ângulo abc o fato de que esse segmento de reta verde ea de é a bissectriz desse ângulo aqui diz que esse ângulo deve ser igual àquele ângulo ali eles têm que ter a mesma medida e o fato de que é a bissectriz desse ângulo ângulo abc nos diz que a medida desse ângulo ângulo a b e deve ser igual à medida do ângulo e bc agora vemos claramente que ela se interceptam em um ponto dentro do triângulo aqui vamos chamar esse ponto deixa eu chamar de ir só pra ficar diferente estou pulando algumas letras mas vai ser uma letra útil que é baseada no que vamos chamar daqui a pouco existem algumas coisas interessantes que sabemos sobre o ponto e 1 ponto e fica na intersecção das bissectriz dos ângulos e vimos isso no vídeo anterior que qualquer ponto que fica sobre os bíceps e aí que distante dos dois lados daquele ângulo por exemplo e ficam ano a de então será e que distante dos dois lados do ângulo b à c esse lado aqui esse lado aqui e aí esse outro lado aqui então porque e fica no adn e a gente sabe que essas duas distâncias serão as mesmas assumindo que é a menor distância entre o ponto i e os lados também mostramos no vídeo anterior que quando falamos sobre a distância entre um ponto e uma reta a gente fala sobre a menor distância que a distância que você obtém se desenhar uma perpendicular então é por isso que desenhei essa perpendicular podemos até vamos rotular poderia ser o ponto efe esse poderia ser o ponto g porque e fica na bissectriz à d a gente sabe que o df sabemos que e e f será igual à e g justo agora e também fica na bissectriz também fica em b que diz que e deve ser equidistante de bc a distância para a b deve ser a mesma que está a dbc a distância de ir para a beija dissemos que esse aqui é mg mas também sabemos que aquela distância deve ser a mesma entre o ponto e e bc se eu desenhar uma outra perpendicular aqui vamos dizer que chamo esse ponto vamos ver não zh aqui essa distância deve ser a mesma dessa distância porque o ponto i fica nessa bissectriz então eng deve ser igual a e h e g deve ser igual a e h mas e f também é igual à ige então podemos também dizer que e efe quero dizer se f é igual a higiene é igual aí h nós também sabemos que o iê f é igual a e h bem pelo senso comum se igual aquilo aquilo é igual aquilo esses dois têm que ser iguais uns aos outros mas sim e é equidistante de dois lados de um ângulo essa é a segunda parte do que provamos no vídeo anterior se tiver um ponto que é que distante de dois lados de um ângulo então aquele ponto deve ficar na bissectriz para aquele ângulo então com esse aqui nos diz que deve estar em uma biz é triste e está na bissectriz do ângulo acb porque é eqüidistante a esses dois lados do ângulo acb e o que acabamos de mostrar é que existe um único ponto dentro o triângulo que fica na intersecção das três bis atrizes não é sempre óbvio que se pegar três segmentos de reta elas não vão interceptar em um único ponto duas retas é uma coisa bem razoável de fazer mais três retas não vão interceptarem um ponto foi legal elas terem interceptado em um único ponto agora também é legal dizer que estamos mostrando que as três diretrizes se interceptam em um único ponto e está na diretriz do ângulo acb a bissectriz de a cbb vai se parecer mais ou menos com isso mais ou menos assim e esse ângulo aqui será congruente aquele ângulo ali acabamos de mostrar que se desenhar se você pegar as três diretrizes dos ângulos internos de um triângulo elas irão se interceptar em um único ponto ali que fica em todas elas então parece que vale a pena chamar mas esse ponto com um nome especial e chamamos é por isso que eu chamei de ir chamamos o ponto hedge em centro o incêndio do triângulo a b c e você vai ver porque o segundo chamado de em centro quando falamos de circum centro era o centro de uma circunferência que era circunscrita ao triângulo e vamos ver em cinco segundos é o centro de uma circunferência que é inscrita ao triângulo que é tangente aos três lados do triângulo como construímos isso bom só temos que estabelecer que e equidistante a cada um dos lados que esse cumprimento é igual àquele comprimento e é igual àquele cumprimento o que acontece se preparar uma circunferência construir que tem um raio igual à distância entre e qualquer um dos lados que é igual àquele tem um raio aquele tem um raio ou a e f g e h bom então vai ter uma circunferência que se pareça com deixa a desejar um pouco melhor que isso não tenho deve raramente você imagina essa é a minha melhor tentativa de desenhar uma circunferência esse círculo aqui que tem um raio igual à distância entre e qualquer um dos lados que já estabelecemos como sempre vemos que eles estão dentro da circunferência então por que nós chamamos de uma circunferência escrita ao triângulo então circunferência aí lembre-se normalmente você marca circunferências com o ponto no centro circunferência aí é a circunferência inscrita ao triângulo à bbc e claro o raio da circunferência aí então poderemos chamar a gente poderia chamar esse comprimento dr digamos que é igual à efe que é igual h que é igual a igg igual à ige a gente pode chamar esse cumprimento de raio da circunferência inscrita e faz sentido porque está dentro quando tínhamos quando falamos sobre a intersecção das medias trizes a gente tinha o nosso circo centro porque é o centro de uma circunferência circunscrita ao triângulo agora estamos pegando a intersecção das bissectriz e aí usando que podemos definir uma circunferência que está inscrita ao triângulo e cujos lados são tangentes a circunferência e uma vez que está dentro chamamos de circunferência inscrita chamamos a intersecção das bissectriz de em centro e chamamos essa distância aqui de raio da circunferência inscrita ao triângulo