2003 AIME II - problema 7

RKA2MB Descubra a área do losango ABCD dado que os raios das circunferências cincunscritas ao redor dos triângulos ABD e ACD são 12,5 e 25, respectivamente. Vamos desenhar então losango ABCD. Vamos desenhar um losango... pronto! Consegui desenhar um bom losango, e a gente sabe que todos os lados de um losango são iguais. Agora, tem que nomear os vértices: vértice A, B, C e D. Aqui está o losango ABCD. A seguir, dizem que os raios das circunferências circunscritas ao redor do triângulo ABD... vamos desenhar nossa circunferência... ela é circunscrita, é uma circunferência circunscrita ou a circunferência que passa pelos vértices A, B e D. Vou tentar fazer o melhor possível... ela se pareceria com algo... que não é tão fácil de fazer... Vamos traçar a circunferência assim. Pronto! Esta é a circunferência circunscrita, ou é a circunferência circunscrita ao redor de ABD. Agora, o exercício diz que seu diâmetro é 12,5. Se eu desenhasse um diâmetro desta circunferência, seria 12,5. Agora, a outra circunferência, a circunferência circunscrita para o triângulo ACD... vamos, agora, desenhar uma circunferência que passe através desses três pontos... e ela teria esta forma... parece que teria que ser uma circunferência um pouco maior... e isso bate com a informação que eles nos deram (o jeito em que eu desenhei aqui). Portanto, a circunferência seria mais ou menos assim. Não quero perder muito tempo tentando desenhar essa circunferência. O exercício fala que seu raio é 12,5 (não o diâmetro, quero deixar bem claro). Na verdade, vou apagar essa circunferência porque tudo está muito bagunçado. Vou apagar esse 12,5 também. Então, 12,5 é o raio da circunferência, essa primeira circunferência ao redor de ABD (do triângulo ABD); essa distância é 12,5. Essa distância também é 12,5. Vamos nos concentrar agora no triângulo ACD. Sua circunferência circunscrita terá mais ou menos esta forma. Não ficou muito bom. Agora, sim! Mais ou menos isto. A questão não é tentar desenhar uma circunferência circunscrita, mas ela é uma circunferência que atravessará esses três pontos e tem um raio de 25. Se tivesse seu centro, se desenhasse um diâmetro dele, seria 25. Muito bem, precisamos descobrir a área do losango ABCD. E, se estiver assistindo aos vídeos que tenho postado nos últimos tempos, vai ver que postei alguns dos pré-requisitos para isso. Porque tem uma fórmula, e provamos em outro vídeo. Provamos a fórmula que relaciona o raio da circunferência circunscrita a um triângulo com a área desse triângulo. Vou escrever essa fórmula de novo. A fórmula é que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo é igual ao produto dos lados do triângulo, tudo sobre 4 vezes a área do triângulo. Vamos ver, agora, se dá para usar essa fórmula que provamos num vídeo anterior para descobrir as áreas do triângulo ABD e do triângulo ACD; depois, ver se pode usar essas informações para descobrir a área de todo o losango. Vou redesenhar um pouquinho porque eu acho que o diagrama ficou meio bagunçado. Vou redesenhar o losango... na verdade, nem vamos ter que desenhar as circunferências circunscritas, porque conhecemos essa fórmula. Então, é A, B, C e D. Primeiro, tem que ver sobre o triângulo ABD. Vou desenhar as diagonais: BD é uma das diagonais; AC é outra das diagonais. Sabemos que as diagonais de um losango são bissetrizes perpendiculares uma a outra: sabemos que é um ângulo reto, este é um ângulo reto, é um ângulo reto e é um ângulo reto. Sabemos que esse comprimento é igual a esse comprimento, e também que aquele comprimento é igual àquele comprimento. Agora, sabendo esse comprimento verde ou esse comprimento azul, a gente consegue descobrir a área do losango. Vamos nomeá-los: este de "a", esse comprimento de "b". "a" vezes "b" vezes 1/2 seria a área desse triângulo aqui. "a" vezes "b" vezes 1/2 vezes 2 nos daria essa área e aquela área. Ou outra forma de pensar é: esse triângulo é totalmente congruente; ele tem os lados "a", "b" e esse lado aqui. Todos esses quatro triângulos têm esses três lados, então todos esses quatro triângulos são congruentes. Assim, dá para pegar a área desse triângulo, multiplicar por 4, e teria a área do losango. A área do losango é igual a 4 vezes 1/2 vezes "ab". 1/2 vezes "ab" nos dá esse triângulo aqui; 4 vezes isso (então, 4 vezes "(1/2)ab") será "2ab", que será a área do losango. Se descobrir, de alguma forma, "a" e "b", a gente pode descobrir a área do losango. Vamos, então, focar nessas informações, no triângulo ABD. Agora, o exercício fala que o raio da circunferência circunscrita é 12,5. Vamos, então, usar essa fórmula. Tem 12,5 (o raio da circunferência circunscrita é 12,5), que é igual ao produto do comprimento dos lados. Qual é o comprimento desses lados? Tem esse lado BD. Isso será "2a" (certo? É um "a" mais outro "a"; então, "2a") vezes este lado aqui. O que é esse lado que é apenas um dos lados do losango? Ele é a hipotenusa desse triângulo retângulo aqui, certo? Esse é um ângulo reto. Será a raiz quadrada de "a² + b²". Mas todos os lados serão iguais; é um losango, todos os lados são iguais. "a² + b²", todos terão exatamente o mesmo comprimento. Então, o produto dos lados tem "2a" (esse é o comprimento de BD) vezes o comprimento de BA (que será a raiz quadrada de "a² + b²") vezes o comprimento de AD (que é a raiz quadrada de "a² + b²"), tudo sobre 4 vezes a área de ABD. Qual é a área de ABD? ABD são esses dois triângulos aqui. Esse tem área de 1/2 vezes "ab"; esse também tem uma área de 1/2 vezes "ab". Então, toda a área será o produto dessas duas áreas, que será "a" vezes "b", e nos dá a área desses dois triângulos. Cada um deles tem 1/2 vezes "ab". Em vez de escrever a área aqui, poderia escrever "ab". Isso simplifica para.. 12,5 é igual a... dividimos o numerador e o denominador por 2 e fica 1... e fica 2 dividido por "a", isso fica 1, isso fica 1... raiz quadrada de "a² + b²" vezes a raiz quadrada de "a² + b²", que simplesmente é "a² + b²"... e no denominador fica apenas com "2b". Essa primeira informação (o fato de o raio da circunferência circunscrita a ABD ser 12,5) dá esta equação aqui. Vamos fazer agora a mesma coisa com o triângulo ACD. O raio da circunferência circunscrita é 25. 25 é igual ao comprimento deste lado... isto é um "b", e também será um "b", então será "2b"... "2b" vezes o comprimento deste lado (que é simplesmente a raiz quadrada de "a² + b²") vezes o comprimento desse lado (que, de novo, é a raiz quadrada de a² + b²), tudo sobre 4 vezes a área. A área, de novo, é esse triângulo, que é 1/2 vezes "ab", mais esse triângulo, que também é 1/2 vezes "ab". Se a gente somar, teremos "ab". Obtemos "ab"... 2 dividido por 2... e 1 aqui... obtemos 2 aqui... dividido por "b", obtemos 1... e se torna um "a". Tenho, então, que 25 é igual ao numerador: raiz quadrada de "a² + b²" vezes ele mesmo, e será "a² + b²" sobre "2a". Então, o segundo triângulo dá esta equação aqui. Agora podemos usar as duas: tem duas equações com duas variáveis desconhecidas. Vamos calcular "a" e "b". Se souber "a" e "b", pode voltar e descobrir a área do losango. Aqui, obtemos... vamos multiplicar os dois lados por "2b", e obtemos que "25b" é igual a "a² + b²". Se multiplicar os dois lados por "2a", obtemos que "50a" é igual a "a² + b²". Então, "50a" é igual a "a² + b²". "25b" é igual a "a² + b²"... "25b" deve ser igual a "50a". Tenho, então, que "25b" deve ser igual a "50a" (os dois são iguais a "a² + b²"). Dividindo os dois lados por 25, tem "b" é igual a "2a". "b" é igual... na verdade, eu queria escrever de outra cor... "b = 2a". Dá para pegar essa informação e voltar para as equações e substituir em cada uma delas para descobrir o "b"; e, depois, quanto é "a". Vamos voltar, então, para essa aqui. Tem "50a"... na verdade, vamos calcular primeiro o "a".... "50a" é igual a "a² + b²". Em vez de escrever "b²", sabemos que "b" é igual a "2a", então, vamos escrever "(2a)²". Tenho, então, que "50a" é igual a "a² + 4a²"; ou que "50a" é igual a "5a²". A gente pode dividir os dois lados por "5a". E, se dividir esse lado por "5a", obtemos 10; se dividir esse lado por "5a", obtemos "a". Então, "a" é igual a 10. Vamos voltar agora e substituir para descobrir o "b". 2 vezes "a" é igual a "b"; "b" é igual a 2 vezes 10, que é igual a 20. Sabemos que "a" é 10, "b" é 20; só tem que voltar para cá para descobrir a área do losango. A área do losango é igual a 2 vezes... "a" era 10... 2 vezes 10... vezes 20... isso é 20 vezes 20... e isto é igual a 400. E terminamos. A área do losango ABCD é 400.