Demonstração da fórmula de circunraio da área

RKA2MB Neste vídeo, eu quero estabelecer a relação entre a área de um triângulo e a circunferência circunscrita a esse triângulo (ou circuncírculo). Antes mesmo de pensar sobre a circunferência circunscrita, vamos pensar só na área do triângulo. Digamos que o triângulo tenha este formato. Na verdade, eu não quero que ele se pareça com um triângulo isósceles, então vou desenhar assim para que não se pareça com nenhum tipo específico de triângulo. Vamos usar as letras maiúsculas "A", "B" e "C" para os vértices; a seguir, os comprimentos do lado oposto ao "A", "B" e "C" são "a", "b" e "c". Sabemos como calcular a área desse triângulo, se souber sua altura. Vamos traçar uma altura aqui; e, se essa altura tiver o comprimento "h", sabemos que a área de ABC é igual a 1/2 vezes a base (que é "b") vezes a altura "h". Muito bem! Tenho, então, uma expressão para a área. Vamos ver se dá para relacionar algumas... a área com o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo. E uma circunferência circunscrita é uma circunferência que passa por todos os vértices do triângulo. Todos os triângulos têm uma circunferência circunscrita. Vou tentar desenhar; essa é a parte difícil. Vai se parecer com isto. É, parece que ficou bom. É bem parecido com uma circunferência; acho que já entenderam. Esta é a circunferência circunscrita a esse triângulo, ou circuncírculo. Vou nomeá-lo: é... (Nossa! Esta seta ficou bem esquisita, hein?)... este é o circuncírculo desse triângulo. Vamos pensar, agora, sobre o centro deste circuncírculo, chamado de circuncentro. Parece que ele estaria... eu não sei... só olhando, parece-me que ele estaria nesse "b". Este é o circuncentro da circunferência. Vou traçar um diâmetro através desse circuncentro... e traçar um diâmetro do vértice B através desse circuncentro. Vamos para lá, e continuamos até aqui. Vamos chamar esse ponto de D. É bacana criar um triângulo com os vértices "A", "B" e "D". É só traçar outra reta aqui e a gente tem o triângulo ABD. Já provamos, na lista de reprodução de geometria (e não é uma prova nem um pouco maluca) que qualquer triângulo inscrito em uma circunferência, em que um dos lados do triângulo é um diâmetro dela, será um triângulo retângulo; e o ângulo que terá 90º será o ângulo oposto ao diâmetro. Então, este é o ângulo reto. Dá para concluir isso de forma bem simples: aqui tem esse arco, que tem 180º (porque, obviamente, é um diâmetro), e ele é visto por esse ângulo inscrito. A gente também prova que o ângulo inscrito que é visto por um arco será igual a metade do comprimento do arco. Este é um arco de 180º, então é um ângulo de 90º. De qualquer modo, esse será um ângulo de 90º aqui. Agora, outra coisa que a gente vê é que tem esse arco aqui... (estou desenhando nessa cor)... esse arco que vai de A para B... bom, ele é visto por dois ângulos diferentes no nosso desenho: ele é visto por esse ângulo ACB, mas também é visto pelo ângulo ADB. Por isso construímos assim. Portanto, esses dois ângulos serão congruentes. Os dois terão metade da medida em graus deste arco, porque ambos são ângulos inscritos que enxergam exatamente o mesmo arco. Estamos vendo algo interessante agora. Tem dois triângulos aqui: tem o triângulo ABD e o triângulo BEC. Eles têm um ângulo reto, e este ângulo em magenta, então o terceiro ângulo deles deve ser igual. Vou desenhar em amarelo. Eles têm três ângulos iguais; portanto, são triângulo semelhantes. E a razão entre os lados correspondentes deve ser a mesma. Dá para, então, usar essa informação para relacionar o comprimento deste lado, que é, na verdade, o diâmetro. Ele é 2 vezes o raio, com a altura desse triângulo menor. A gente sabe da relação entre a altura do triângulo menor e a área, e estaremos basicamente na reta final. Vamos fazer. Esses são dois triângulos semelhantes; sabemos que a razão de "c" para esse diâmetro... mas qual é o comprimento do diâmetro? O comprimento do diâmetro é 2 vezes o raio. Esse é um raio, esse é um raio. Sabemos que a razão de "c" para 2 vezes o raio será exatamente igual à razão de "h"... e devemos ter certeza de que estamos usando o mesmo lado... para a hipotenusa desse triângulo, para a razão de "h" para "a". E a forma como descobrimos e analisamos os lados correspondentes: "c" e "a" (hipotenusa) são os lados adjacentes a este ângulo aqui. Então, tem "h" e "a" aqui. Então, "c" está para "2r" como "h" está para "a". A gente poderia calcular muitas coisas, por exemplo, o "h", e depois substituir uma expressão que tenha área por "h". Então, vamos fazer. Digamos que, se eu usar essa primeira expressão que tem para a área dá para multiplicar os dois lados por 2 e dividir os dois lados por "b". Esses dois se cancelam... se cancelam... obtemos que "h" é igual a 2 vezes a área sobre "b". Podemos, então, reescrever essa pequena relação como: "c" sobre "2r" é igual a "h", que é 2 vezes a área do nosso triângulo sobre "b"; depois, tudo será sobre "a". Ou poderia reescrever essa segunda parte como: 2 vezes a área sobre... estamos dividindo por "b" e depois dividindo por "a", que é igual a dividir por "ab" (então, podemos ignorar aqui). Tenho, agora, que "c" sobre "2r" é igual a 2 vezes a área sobre "ab"; e, agora, dá para fazer a multiplicação cruzada. Podemos fazer "ab" vezes "c"... (vou usar outra cor para não ficar chato)... "ab" vezes "c" será igual a "2r" vezes "2[ABC]"; e será "4r" vezes a área do nosso triângulo. Eu só usei a multiplicação cruzada. Isso vezes isso será igual a isso vezes isso. Sabemos que todas as multiplicações cruzadas são simplesmente a multiplicação dos dois lados da equação por "2r" e a multiplicação dos dois lados da equação por "ab". Fizemos isso no lado esquerdo e também no lado direito: "(2r)(ab)". Obviamente, isso se cancela com isso, isso se cancela com isso; obtemos, então, que "abc" é igual a "2r" vezes "2[ABC]" ou "4r" vezes a área do nosso triângulo. Agora, estamos na reta final. Dividimos os dois lados disso por 4 vezes a área, e terminamos. Isto se cancela com isto, isso se cancela com isso, e a gente tem nossa relação. O raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é igual ao produto dos lados do triângulo dividido por 4 vezes a área do triângulo. Esse resultado foi muito bom. Até o próximo vídeo!