Circuncentro de um triângulo

RKA1C Vamos começar com o segmento AB. Este é o ponto A, este aqui é o ponto B. E vamos fazer a mediatriz desse segmento, ela será perpendicular à AB e dividirá o segmento em dois segmentos iguais. Assim, podemos chamar a reta de l. Isso vai ser perpendicular, uma mediatriz. Vai cruzar em um ângulo de 90 graus e dividir em dois segmentos iguais. Este comprimento e este comprimento são iguais, e vamos chamar este ponto aqui de M, de "ponto médio". O que quero provar primeiro neste vídeo é que, se pegarmos um ponto aleatório nesta reta, que é a mediatriz de AB, esse ponto aleatório vai ser equidistante de A... A distância desse ponto até A vai ser a mesma que a distância desse ponto até B. Então, deixa eu pegar um ponto aleatório dessa mediatriz, e vamos chamar esse ponto aleatório de C. Aí, a gente pode imaginar que gosta de desenhar um triângulo, então vamos desenhar um triângulo onde desenhamos um segmento de C até A e outro de C até B. Se provarmos que CA é igual a CB, então provamos o que queremos provar: que C é equidistante de A, assim como de B. Tem algumas coisas interessantes que vemos aqui. Sabemos que AM é igual a MB. Agora, também sabemos que CM é igual a ele mesmo, obviamente... Qualquer segmento vai ser igual a ele mesmo. E sabemos que se este é um ângulo reto, este também vai ser um ângulo reto. Esta reta é a mediatriz de AB, então temos dois triângulos retângulos. Mas nem tem que se preocupar se eles são retângulos... Se olhar para o triângulo AMC, este lado é congruente ao lado correspondente no triângulo BMC. E você tem um ângulo no meio que corresponde a este ângulo aqui. O ângulo AMC corresponde ao ângulo BMC, eles dois são 90 graus, são congruentes. Então, tem este lado MC, que está nos dois triângulos e aqueles são congruentes. A gente pode usar o critério de congruência "lado, ângulo, lado", congruência LAL. Podemos escrever que esse triângulo AMC é congruente ao triângulo BMC por congruência LAL. Então, se os dois são congruentes, todos os lados correspondentes são congruentes. AC corresponde a BC, então estas duas coisas devem ser congruentes, este comprimento deve ser o mesmo que aquele comprimento ali. Assim, provamos o que queríamos provar! Este ponto C aleatório, que fica na mediatriz de AB, é equidistante de A e B. Saberíamos disso se eu tivesse desenhado o meu C aqui ou aqui, eu teria seguido exatamente o mesmo raciocínio. Então, qualquer C que fique nessa reta, tudo bem. Deixa eu escrever. Então, significa que AC é igual a BC. Agora, vamos pelo outro lado. Digamos que achamos um ponto que é equidistante de A e B: vamos provar que ele tem que estar na mediatriz, vamos fazer mais uma vez! Vou desenhar assim... Este é o meu A, este é o meu B. E vamos desenhar um ponto, vamos chamar de C de novo. Digamos que C seja aqui. Vou desenhar um C aqui embaixo. Então, isso é C. E vamos começar com a suposição de que C é equidistante de A e B. Então, CA vai ser igual a CB. É com isso que vamos começar essa nossa suposição. O que queremos provar é que C está na mediatriz de AB. Desenhamos um triângulo aqui... Fizemos isso antes. Sempre podemos descer uma altura deste lado do triângulo aqui. Podemos fazer uma reta aqui. Se a gente desenhar assim, vamos chamar... Vamos descer uma altura aqui, embora não estejamos descendo, mas subindo uma altura nesse caso. Se rodarmos isso, para que esse triângulo fique assim... Isto era, então, B... Isto é A, e isto é C. Estava aqui em cima, você estaria realmente descendo uma altura. A gente poderia construir esta reta. Tem isto... Ela está em um ângulo reto com AB. E vamos chamar este ponto, que cruza, de M. Para provar que C fica na mediatriz, realmente temos mostrar que CM é um segmento na reta mediatriz. E, do jeito que construímos, já é perpendicular, só temos que mostrar que divide AB em dois. O que temos são dois ângulos retos, este é o ângulo reto. Tem que ser do jeito que construímos, é um ângulo reto. E sabemos que CM vai ser igual a ele mesmo. Esse é o ângulo reto, temos um cateto e uma hipotenusa. Sabemos pelo critério de congruência HC, hipotenusa e cateto, "congruência HC", que há um ângulo reto, um lado correspondente que é congruente a outro lado correspondente no outro triângulo, e uma hipotenusa congruente a outra hipotenusa, isso significa que nossos dois triângulos são congruentes. O triângulo ACM é congruente ao triângulo BCM por congruência HC. Se eles são congruentes, então, seus lados correspondentes vão ser congruentes, isso significa que AM deve ser igual a BM porque eles são os lados correspondentes. Este lado aqui vai ser congruente com aquele lado. Isto realmente está dividindo AB em dois, essa reta MC realmente é a mediatriz, realmente faz parte da mediatriz. A razão pela qual fazemos isso é que agora podemos fazer coisas interessantes com mediatrizes, com pontos equidistantes de outros pontos e com triângulos. Essa foi só para revisar! Achamos que qualquer ponto em uma mediatriz de um segmento é equidistante das extremidades do segmento, e fomos pelo outro lado. Se qualquer ponto é equidistante das extremidades de um segmento, ele fica na mediatriz desse segmento. Vamos aplicar essas ideias a um triângulo agora. Deixa eu desenhar um triângulo aleatório, vou tentar desenhar bem grande. Digamos que isso é um triângulo de algum tipo. Vamos colocar legendas no triângulo: este é o ponto A, ponto B e ponto C, podemos chamar de triângulo ABC. Agora deixa eu construir a mediatriz do segmento AB, que vai dividir em dois. Esta distância vai ser igual a esta distância e vai ser perpendicular. Se parece com algo mais ou menos assim... E vai ser perpendicular. Mas deixa eu desenhar meio diferente porque o jeito como desenhei esse triângulo o deixou parecido com um caso especial sobre o qual, na verdade, vamos falar em outro vídeo. Deixa eu desenhar esse triângulo um pouco diferente. Muito bem! Deixa eu desenhar... Ok. Este deve ser um pouco melhor. Vamos ver qual é o caso especial que eu comentei. Aqui vai ser A, B e C. Agora, deixa eu pegar este ponto aqui, que é um ponto médio entre A e B, e desenhar uma perpendicular, desenhar uma mediatriz. A mediatriz vai ficar parecida com isto, vai ser mais ou menos assim. Não quero fazer cruzando C porque não vai necessariamente ser o caso, mas este vai ser um ângulo de 90 graus, e este comprimento é igual ao outro. Deixa eu fazer a mesma coisa para o segmento AC aqui, deixa eu pegar o ponto médio, que nesse desenho parece estar mais ou menos aqui, e deixa eu desenhar a mediatriz, que é mais ou menos assim, mais ou menos isso. Este comprimento aqui é igual ao outro, e vemos que cruza em algum ponto. Vamos chamar esse ponto, só para brincar, de O. Agora, tem algumas propriedades interessantes do ponto O: já que O está na mediatriz de AB, sabemos que a distância de OAB vai ser a distância de OAC, é isso que provamos nesta pequena prova aqui. A gente sabe que OA vai ser igual a OB. Bom, isso é legal, mas também dá para saber porque é intersecção desta mediatriz verde com esta mediatriz amarela. Também sabemos porque fica na mediatriz de AC, que é equidistante de A e de C. Sabemos que OA é igual a OC. Agora, isso é interessante: OA é igual a OB e OA é igual a OC, então, OC e OB têm que ser a mesma coisa também. Também sabemos que OC tem que ser igual OB. Se um ponto é igual... Desculpa. Se um ponto é equidistante de dois outros pontos que estão em extremidades de um segmento, aquele ponto tem que estar na mediatriz desse segmento. Essa é a segunda prova que fizemos aqui. Então, deve estar na mediatriz de BC. Se eu desenhar uma mediatriz aqui, então ela fica, definitivamente, na mediatriz de BC. O que é legal sobre essa prova simples que fizemos neste vídeo é que mostramos... Tem um ponto único neste triângulo que é equidistante de todos os vértices do triângulo, e fica nas mediatrizes dos três lados. Outro jeito de pensar... Mostramos que as mediatrizes dos três lados se cruzam em um único ponto, que é equidistante dos vértices, e esse ponto único em um triângulo tem um nome especial: chamamos O de "circuncentro". Circuncentro. E, como o O é equidistante dos vértices, essa distância... Deixa eu fazer de uma cor que ainda não usei. ...esta distância aqui é igual à distância ali. Se construirmos um que tenha o centro em O e cujo raio é esta distância laranja ou qualquer dessas distâncias aqui, teremos um círculo que passa por todos os vértices de B... Desculpa, todos os vértices do nosso triângulo com centro em O. Nosso círculo seria assim, mais ou menos... Esta é a minha melhor tentativa de desenhar. Fizemos isso para mostrar que podemos construir algo assim, nós chamamos isso de "circuncírculo" e essa distância aqui de "circunraio". Mais uma vez, sabemos que podemos construir isso porque tem um ponto aqui centralizado em O. E esse círculo, como passa por todos os vértices do nosso triângulo, a gente diz que está circunscrito em volta do triângulo. Assim, a gente pode falar que o circuncírculo O... O círculo O aqui, circunscreve o triângulo ABC. Isso significa que os três vértices estão no círculo, e que o círculo tem todos os pontos em um circunraio de distância do circuncentro.