Prova: diagonais de um paralelogramo

RKA - Nós temos um paralelogramo. O que a gente quer provar é que suas diagonais são bissetrizes de seus ângulos. Então, a primeira coisa que podemos pensar é que elas não são apenas diagonais, elas são segmentos de reta que intersectam outros segmentos de retas paralelas. Portanto, também podemos vê-las como transversais. Se nos concentrarmos no DB, aqui, vemos que ele intersecta DC e AB. Esses, nós sabemos que são paralelogramos, sabemos que eles são paralelos, este é um paralelogramo, os ângulos alternos internos devem ser congruentes. Portanto, esse ângulo deve ser igual a esse outro ângulo. Vamos fazer uma marcação aqui, vamos chamar esse ponto médio de "E". Sabemos que o ângulo ABE deve ser congruente ao ângulo CDE, por causa dos ângulos alternos internos de uma transversal que intersecta dois segmentos paralelos, formando ângulos alternos internos. Se olharmos para a diagonal AC, podemos também chamá-la de "transversal AC", e podemos usar o mesmo argumento, ela cruza aqui e aqui, esses dois segmentos de retas são paralelos, os ângulos alternos internos devem ser congruentes, então, o ângulo DEC deve ser, vamos escrever isso, deve ser congruente ao ângulo BAE, exatamente pelo mesmo motivo. Temos algo interessante aqui. Se olharmos para esse triângulo superior aqui, e esse triângulo inferior, temos um conjunto de ângulos correspondentes, que são congruentes. Temos um lado no meio, que é congruente. Na verdade, vamos escrever isso explicitamente. Sabemos e provamos, no vídeo anterior, que paralelogramos não têm apenas lados opostos paralelos, mas eles também são congruentes, sabemos, pelo vídeo anterior, que esse lado é igual a esse lado. Então, vamos voltar para o que estava dizendo. Temos dois conjuntos de ângulos correspondentes, que são congruentes, temos um lado no meio, que é congruente, e também temos outro conjunto de ângulos correspondentes, que são congruentes. Sabemos que esse triângulo é congruente a esse triângulo, pelo critério "ângulo, lado, ângulo". A gente sabe que o triângulo ABE, é congruente ao triângulo CDE e, pelo critério de congruência "ângulo, lado, ângulo". Mas, em que isso nos ajuda? Se temos dois triângulos congruentes, podemos saber que todas as suas características correspondentes, especialmente todos os lados correspondentes, são congruentes. Sabemos que o lado EC corresponde a EA, ou poderemos também dizer: lado AE corresponde ao lado CE. Eles são lados correspondentes de um triângulo congruente. Portanto, suas medidas, ou seus comprimentos, devem ser os mesmos. Por isso, AE deve ser igual a CE. Vamos colocar duas barras, pois já usei uma barra aqui, vamos nos concentrar nisso. Sabemos que BE deve ser igual a DE, mais uma vez, eles são lados correspondentes de dois triângulos congruentes, portanto, devem ter o mesmo comprimento, eles são lados correspondentes de triângulos congruentes. BE é igual a DE. E aí está a nossa prova. Demonstramos que a diagonal DB divide AC em dois segmentos de comprimento igual, e vice-versa. AC divide DB em dois segmentos de comprimentos iguais. Portanto, eles são bissetrizes. Agora, vamos pensar de forma contrária. Vamos provar que, se tivermos duas diagonais de um quadrilátero que sejam bissetrizes, esse quadrilátero será um paralelogramo. Vejamos. Vamos supor que as duas diagonais sejam bissetrizes, uma em relação à outra. Então, estamos assumindo que isso aqui é igual a isso aqui, e que isso aqui é igual a isso aqui. Queremos provar que essa figura é um paralelogramo, e para isso, apenas temos que lembrar que esse ângulo é igual a esse outro ângulo. Uma das primeiras coisas que aprendemos, já que esses ângulos são verticais, então, vamos escrever isso, vamos marcar esse ponto. O ângulo CED é igual, ou, é congruente, ao ângulo BEA. Isso, o que é isso aqui? Bom, isso nos mostra que esses dois triângulos são congruentes, porque temos lados correspondentes e um ângulo no meio. Agora, sabemos que o triângulo, vamos manter isso em amarelo, o triângulo AEB é congruente ao triângulo DEC por sua congruência lado, ângulo, lado, por causa dos triângulos com congruência lado, ângulo, lado. Muito bem. Agora, se sabemos que esses dois triângulos são congruentes, sabemos que todos os lados e ângulos correspondentes são congruentes. Dessa forma, por exemplo, a gente sabe que o ângulo CDE é congruente ao ângulo BAE, E e eles são apenas ângulos correspondentes de triângulos congruentes. Agora, temos essa transversal desses dois segmentos, que podem ser paralelos, se os ângulos alternos internos forem congruentes, e podemos ver que eles são. Esses dois ângulos são candidatos a ângulos alternos internos e são congruentes. Portanto, AB deve ser paralelo a CD. Portanto, vamos desenhar uma seta, AB deve ser paralelo a CD por causa dos ângulos alternos internos congruentes dos segmentos paralelos. Estou escrevendo de forma abreviada. Desculpa essa forma enigmática, apesar de eu também estar falando, assim podemos fazer exatamente a mesma coisa. Apenas mostrando que esses dois lados são paralelos, podemos usar exatamente a mesma lógica para mostrar que esses dois lados são paralelos. Não necessariamente preciso escrever tudo, é exatamente a mesma prova para demonstrar essas duas coisas. Em primeiro lugar, sabemos que esse ângulo é congruente a esse outro aqui, vamos escrever isso. Sabemos que o ângulo AEC é congruente ao ângulo DEB, eles são ângulos verticais. E essa é a razão, aqui em cima também, ângulos verticais. Então, podemos ver que o triângulo AEC deve ser congruente ao triângulo DEB, por causa do critério lado, ângulo, lado. Sabemos que o triângulo AEC deve ser congruente ao triângulo DEB pela congruência lado, ângulo, lado. A gente sabe que os ângulos correspondentes devem ser congruentes. Portanto, sabemos que esse ângulo, por exemplo, o ângulo CAE, deve ser congruente ao ângulo BDE. Esses são os ângulos correspondentes de triângulos congruentes. CAE, vamos usar uma nova cor, CAE deve ser congruente a BDE, E agora, temos uma transversal, os ângulos alternos internos são congruentes, portanto, os dois segmentos que as transversais intersectam devem ser paralelos. Assim, isso deve ser paralelo a isso. Sabemos que AC deve ser paralelo a BD, por causa dos ângulos alternos internos. E terminamos! Acabamos de provar que, se as diagonais forem bissetrizes em relação uma a outra, se começamos tendo isso como dado, podemos concluir que os lados opostos deste quadrilátero devem ser paralelos, ou que ABCD é um paralelogramo.