Prova: lados opostos de um paralelogramo

RKA13MB - O que vamos provar neste vídeo são algumas propriedades relacionadas a paralelogramos. A primeira é a seguinte: para um paralelogramo ABCD, os lados opostos têm o mesmo comprimento, ou seja, vamos provar que AB é igual a DC, e que AD é igual a BC. Vamos desenhar uma diagonal aqui. Vou desenhar uma diagonal. E essa diagonal, dependendo de como você a vê, está cruzando dois pares de retas paralelas, então também podemos considerá-la uma transversal. Na verdade, vamos desenhar de uma forma um pouco melhor. Eu posso fazer melhor, né? Não, não ficou nada melhor. Isso é o melhor que eu posso fazer. Se olharmos bem, podemos ver a diagonal DB como uma transversal das retas paralelas AB e DC. Se a gente vir dessa forma, podemos dizer que o ângulo ABD é congruente ao ângulo BDC, porque são ângulos alternos internos. Temos retas paralelas transversais. Sabemos que o ângulo ABD é congruente ao ângulo BDC. Podemos ver essa diagonal DB como uma transversal dessas duas retas paralelas, dos outros dois pares de retas paralelas, AD e BC. Se olharmos para ela dessa forma, vamos perceber imediatamente que o ângulo DBC, esse aqui, é congruente ao ângulo ADB, pelo mesmo motivo: eles são ângulos alternos internos de uma transversal que cruza essas duas retas paralelas. Então, poderíamos concluir que ângulos alternos internos são congruentes quando temos uma transversal que cruza duas retas paralelas. Veremos também que esses dois triângulos, triângulo ADB e triângulo CDB, possuem esse lado aqui em comum. É óbvio que ele é igual a si mesmo. Por que isso é útil? Bom, acabamos de ver que os dois triângulos têm esse ângulo rosa e esse lado em comum, e também possuem o ângulo verde. Ângulo rosa, lado em comum e ângulo verde: nós mostramos pelo critério ângulo-lado-ângulo que esses dois triângulos são congruentes. Então, vamos escrever isso. Mostramos que o triângulo... (vou do ângulo não nomeado para o rosa, para o verde)... ADB é congruente ao triângulo CBD. E isso vem do critério de congruência ângulo-lado-ângulo. Então, isso vem do critério de congruência ângulo-lado-ângulo. Tá, e em que isso nos ajuda? Se dois triângulos são congruentes, então todos os lados ou ângulos correspondentes desses dois triângulos serão congruentes. O lado DC corresponde ao lado BA. O lado DC nesse triângulo inferior corresponde ao lado BA no triângulo de cima. Eles precisam ser congruentes. Temos DC igual a BA. E isso ocorre porque eles são lados correspondentes de triângulos congruentes. Então, isso é igual àquilo pela mesma lógica. AD corresponde a CB. AD é igual a CB. Exatamente pelo mesmo motivo: lados correspondentes de triângulos congruentes. E terminamos. Provamos que os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. Agora, vamos pensar de outra forma. Digamos que temos um tipo de quadrilátero e sabemos que seus lados opostos são congruentes. É possível provar que essa figura é um paralelogramo? Basicamente, é a mesma prova, mas ao contrário. Vamos desenhar uma diagonal aqui, pois já conhecemos bastante sobre triângulos. Vamos desenhar... pronto! Essa é a parte mais difícil. Vamos ver. Desenhar. Está ótimo! Beleza! Está claro aqui que CB é igual a si mesmo. Vou desenhar assim. Fica claro porque essa é a mesma reta. E temos algo interessante aqui. Dividimos esse quadrilátero em dois triângulos: triângulo ACB e triângulo DBC. Percebam que eles têm todos os três lados dos dois triângulos que são iguais uns aos outros. Sabemos pelo critério lado-lado-lado que são congruentes. Então, sabemos que o triângulo... eu vou começar por A e vou para a outra metade... ACB é congruente ao triângulo de DBC, e isso se dá pelo critério de congruência lado-lado-lado. E no quê isso nos ajuda? Isso nos diz que todos os ângulos correspondentes são congruentes. Assim, por exemplo, o ângulo ABC é... podemos ver o ABC... ele é congruente ao DCB. Podemos dizer que são ângulos correspondentes de triângulos congruentes. E eu estou apenas usando um atalho aqui para ser mais rápido. Então, ABC é congruente a DCB. Esses dois triângulos são congruentes. Isso é interessante porque aqui nós temos uma reta que cruza AB e CD e podemos ver claramente que essas duas coisas, que podem ser ângulos alternos, ângulos alternos internos, são congruentes. Como temos esses ângulos alternos internos congruentes, sabemos que AB deve ser paralelo a CD. Então isso deve ser paralelo a isso. Sabemos que AB é paralelo a CD por causa dos ângulos alternos internos de uma transversal cruzando retas paralelas. Agora, podemos usar essa mesma lógica. O ângulo ACB é congruente ao ângulo de DBC. E sabemos disso porque temos ângulos correspondentes de triângulos congruentes. O que estamos dizendo é que esse ângulo é igual a esse ângulo. Mais uma vez, esses ângulos podem ser ângulos alternos internos (eles parecem ser). Essa é uma transversal, e aqui temos duas retas que não sabemos com certeza se são paralelas, mas, como os ângulos alternos internos são congruentes, sabemos que elas são paralelas. Assim, essa reta é paralela àquela. Então, sabemos que AC é paralelo a BD, por causa dos ângulos alternos internos. E terminamos. O que fizemos aqui foi interessante! Mostramos que, se tivermos um paralelogramo, seus lados opostos têm o mesmo comprimento. E, se lados opostos têm o mesmo comprimento, então temos um paralelogramo. Assim, realmente provamos essa propriedade nos dois sentidos dela. Dessa forma, podemos realmente fazer o que chamamos de afirmação "se, e somente se". Podemos dizer: se os lados opostos de um quadrilátero forem paralelos, ou poderíamos dizer os lados opostos de um quadrilátero serão paralelos se, e somente se, os seus comprimentos forem iguais. Podemos dizer "se, e somente se". Então, se os lados forem paralelos, podemos dizer que os seus comprimentos são iguais.... se, e somente se, os seus comprimentos forem iguais, eles serão paralelos. Provamos nas duas direções.