Diagonais do losango

RKA13MB - Vou fazer uma rápida argumentação ou comprovação, mostrando que as diagonais de um losango são perpendiculares. Lembre-se de que um losango é apenas um paralelogramo no qual todos os quatro lados são iguais. Na verdade, se todos os quatro lados são iguais, tem que ser um paralelogramo. Apenas para tornar as coisas claras: alguns losangos são quadrados, mas não todos eles, porque pode ter um losango assim, em que os ângulos não são de 90 graus. Mas quadrados são losangos porque todos os quadrados têm ângulos de 90 graus. Não é isso que os torna um losango, mas todos os lados são iguais. Então todos os quadrados são losangos, mas nem todos os losangos são quadrados. Agora, isso dito, vamos pensar sobre as diagonais de um losango. E, para pensar sobre isso um pouco mais claramente, vou desenhar um losango como uma espécie de... vou girá-lo um pouco para que se pareça com uma forma de diamante. Mas repare: eu não estou realmente mudando as propriedades do losango, só estou mudando sua orientação um pouco, estou apenas mudando sua orientação. [Em] um losango, por definição, os quatro lados serão iguais. Agora, deixe-me desenhar uma de suas diagonais, e, da maneira que eu desenhei aqui, é uma espécie de diamante. Uma das suas diagonais será ao longo da horizontal, assim. Esse triângulo na parte superior e o triângulo embaixo têm esse lado em comum. Aquele lado, obviamente, vai ser do mesmo comprimento para os dois triângulos. [Para] os outros dois lados dos triângulos é a mesma coisa: eles são os lados do losango real. Então todos os três lados desse triângulo de cima e do triângulo de baixo são os mesmos. Esse triângulo de cima e esse triângulo inferior são congruentes. São triângulos congruentes. Se voltar para sua lição de geometria do 9º ano, você poderia usar o critério L-L-L: se três lados são congruentes, então os próprios triângulos são congruentes. Isso também significa que todos os ângulos do triângulo são congruentes. Então o ângulo que é oposto desse lado, esse lado em comum aqui, vai ser congruente ao ângulo correspondente no outro triângulo. O ângulo oposto desse lado seria a mesma coisa que isso. Agora, esses dois triângulos são também triângulos isósceles. Então seus ângulos da base serão os mesmos. Esse é um ângulo da base, esse é outro ângulo base, esse é um triângulo isósceles de cabeça para baixo, esse é um com o lado certo para cima. Então, se esses dois são iguais, esses também serão iguais. Eles vão ser iguais porque esse é um triângulo isósceles, e eles também serão iguais para esses outros símbolos aqui embaixo porque esses são triângulos congruentes. Agora, se tomarmos uma altura... não, na verdade, eu não tenho que falar sobre isso, eu não acho que vai ser relevante quando realmente provarmos o que queremos provar. Se a gente pegar uma altura de cada um desses vértices descendo até esse lado, uma altura por definição, vai ser perpendicular aqui. Agora, um triângulo isósceles é perfeitamente simétrico. Se traçar uma altura a partir do topo, ou um ângulo único ou um único vértice em um triângulo isósceles, vai dividi-lo em dois triângulos retângulos simétricos, dois triângulos retângulos que são essencialmente as imagens espelhadas um do outro. Você também vai dividir o lado oposto. De fato, esta altura é uma mediana do triângulo. Poderíamos fazer do outro lado, e a mesma coisa vai acontecer. Estamos dividindo esse lado aqui. Este é um ângulo reto. Essencialmente, a combinação dessas duas alturas é apenas uma diagonal desse losango, e é em um ângulo reto com a outra diagonal do losango. Ela corta essa outra diagonal do losango. Podemos usar exatamente o mesmo argumento aqui. Você poderia pensar em um triângulo isósceles aqui. Esta é uma altura dele. Ela divide em dois triângulos retos simétricos, corta o lado oposto, é essencialmente uma mediana desse triângulo. Qualquer triângulo isósceles daquele lado é igual àquele lado. Se traçar uma altura, esses dois triângulos serão simétricos, e vai ter dividido o lado oposto. Assim, pelo mesmo argumento, aquele lado é igual a esse lado, então as duas diagonais de qualquer losango são perpendiculares umas às outras e dividem umas às outras. Enfim, espero que você tenha achado isso útil. Fui!