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Conteúdo principal

Rotação de formas ao redor da origem por múltiplos de 90°

Aprenda a desenhar a imagem de uma forma dada com uma rotação dada sobre a origem por qualquer múltiplo de 90°.

Introdução

Neste artigo, vamos praticar a arte de rotacionar formas. Falando matematicamente, vamos aprender a desenhar a imagem de uma dada forma após uma dada rotação.
Este artigo aborda a rotação por múltiplos de 90, tanto no sentido positivo (anti-horário) e negativo (horário).

Parte 1: rotação de pontos por 90, 180 e 90

Vamos estudar um exemplo de problema

Queremos encontrar a imagem A do ponto A(3,4) após uma rotação de 90 ao redor da origem.
Vamos começar visualizando o problema. Rotações positivas são no sentido anti-horário, então nossa rotação será assim:
Legal, acabamos de estimar A visualmente. Mas agora, precisamos encontrar suas coordenadas exatas. Há duas formas de fazer isso.

Método de resolução 1: a abordagem visual

Podemos imaginar um retângulo com um vértice na origem e com o vértice oposto em A.
Uma rotação de 90 é como colocar o retângulo de lado:
Agora, vemos que a imagem de A(3,4) depois da rotação é A(4,3).
Observe que é mais fácil rotacionar os pontos que estão sobre os eixos, e eles nos ajudam a encontrar a imagem de A:
Ponto(3,0)(0,4)(3,4)
Imagem(0,3)(4,0)(4,3)

Método de resolução 2: a abordagem algébrica

Vamos dar uma olhada mais de perto nos pontos A e A:
PontoCoordenada xCoordenada y
A34
A43
Observe um fenômeno interessante: a coordenada x de A se tornou a coordenada y de A, e a oposta da coordenada y de A se tornou a coordenada x de A.
Podemos representar isso matematicamente assim:
R(0,0),90(x,y)=(y,x)
Acontece que isso é verdadeiro para qualquer ponto, não apenas para A. Aqui estão mais alguns exemplos:
Além disso, acontece que rotações de 180 ou 90seguem padrões similares:
R(0,0),180(x,y)=(x,y)
R(0,0),90(x,y)=(y,x)
Podemos usá-los para rotacionar qualquer ponto que quisermos, substituindo suas coordenadas na equação apropriada.

Sua vez!

Problema 1

Desenhe a imagem de B(7,3) após a rotação de R(0,0),90.

Problema 2

Desenhe a imagem de C(5,6) após a rotação de R(0,0),180.

Método gráfico versus método algébrico

Em geral, todos são livres para escolher qual dos dois métodos usar. Cada louco com sua mania!
O método algébrico exige menos trabalho e tempo, mas você precisa se lembrar desses padrões. O método gráfico está sempre à sua disposição, mas pode demorar mais para resolver.

Parte 2: extensão para qualquer múltiplo de 90

Vamos estudar um exemplo de problema

Queremos encontrar a imagem D do ponto D(5,4) após uma rotação de 270 ao redor da origem.

Solução

Já que uma rotação de 270 é o mesmo que três rotações de 90, podemos resolver isso graficamente realizando três rotações consecutivas de 90:
Mas espere! Podemos simplesmente fazer uma rotação de 90 ao invés de 270. Essas rotações são equivalentes. Veja só:
Pelo mesmo motivo, também podemos usar o padrão R(0,0),90(x,y)=(y,x):
R(0,0),270(5,4)=(4,5)

Vamos estudar mais um exemplo de problema

Queremos encontrar a imagem de (9,7) após uma rotação de 810 ao redor da origem.

Solução

Uma rotação de 810 é o mesmo que duas rotações consecutivas de 360 seguidas por uma rotação de 90 (porque 810=2360+90).
Uma rotação de 360 transforma qualquer ponto nele mesmo. Em outras palavras, ela não muda nada.
Então, uma rotação de 810 é o mesmo que uma rotação de 90. Portanto, podemos simplesmente usar o padrão R(0,0),90(x,y)=(y,x):
R(0,0),810(9,7)=(7,9)

Sua vez!

Problema 1

Desenhe a imagem de E(8,6) após a rotação de R(0,0),270.

Problema 2

Que rotação é equivalente à rotação R(0,0),990?
Escolha 1 resposta:

Parte 3: rotação de polígonos

Vamos estudar um exemplo de problema

Considere o quadrilátero DEFG mostrado abaixo. Vamos desenhar sua imagem, DEFG, após a rotação R(0,0),270.

Solução

De forma semelhante às translações, quando rotacionamos um polígono, tudo o que precisamos fazer é rotacionar todos os vértices e, então, ligar as imagens dos vértices para encontrar a imagem do polígono.

Sua vez!

Desenhe a imagem de HIJ abaixo, depois da rotação R(0,0),90.

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