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Rotação de formas: centro ≠ (0,0)

A partir de um triângulo no plano cartesiano e a definição de rotação em torno de um ponto arbitrário, desenhamos manualmente a imagem dessa rotação.

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Transcrição de vídeo

RKA - O triângulo "SAM" é rotacionado 270° ao redor do ponto (4, -2). Desenhe a imagem desta rotação usando o gráfico interativo e lembrando que uma rotação por um ângulo positivo tem sentido anti-horário. Bem parecido com outro exemplo que já fizemos, mas não estamos girando em torno da origem, mas em torno de um outro ponto qualquer, neste caso o ponto (4, -2). Vou copiar esta situação para o meu rascunho para que possamos trabalhar. Primeiro, vamos lembrar que dado o sistema de eixos cartesianos, rotacionar, vamos pensar em torno da origem mesmo, rotacionar no sentido indicado por um ângulo positivo é o sentido anti-horário, então, 270° no sentido anti-horário significa esta rotação. Isto é equivalente a rotacionar no sentido horário exatamente 90°, ou seja, a rotação do +270° equivale à rotação do -90 graus e é mais fácil pensar em -90 graus, ou seja, 90° no sentido horário. Vamos analisar vértice por vértice e automaticamente teremos, depois, o novo triângulo e todos os seus infinitos pontos rotacionados como desejamos. Vou começar, por exemplo, pelo vértice "M". O vértice "M", o ponto "M", vai ter que ser rotacionado 90° no sentido horário em torno deste ponto indicado aqui. Para isso, eu vou usar o mesmo recurso do triângulo retângulo que fizemos no outro exemplo, quando rotacionamos em torno da origem. Lá, ligávamos a origem com o ponto para determinar a hipotenusa do triângulo retângulo em questão e neste caso vamos ligar o ponto (4, -2), que é o centro de rotação. Esta vai ser a hipotenusa do triângulo retângulo que vamos rotacionar. E os catetos? Os catetos serão obtidos paralelamente aos eixos ligando, ou melhor, fechando o triângulo retângulo com vértice no centro da rotação. Muito bem, queremos rotacionar isso aqui 90° no sentido horário. Nós podemos, então, rotacionar este lado laranja 90° no sentido horário em torno deste ponto, basta imaginar isso aqui. Rotacionar 90° no sentido horário significa fazer este movimento, então ele vai ficar paralelo ao eixo das ordenadas. Ele tem o tamanho de 1, 2 ,3, 4, 5, 6, 7 unidades, então ele tem que ficar aqui, no sentido vertical, na direção vertical para cima, com o tamanho de 7 unidades. 7 unidades. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 unidades. Então, este lado veio para cá. Formando 90° com ele, temos este aqui. Veja, se nós rotacionamos assim, então este lado vai vir para cá, vai estar aqui, com o mesmo tamanho, 1, 2, 3, 4 unidades, então 4 unidades aqui para a direita. 1, 2, 3, 4 unidades. A hipotenusa também vai girar do mesmo jeito, portanto, ela estará agora aqui, e neste ponto nós obtemos a imagem do ponto M' (M linha). Resumindo, este triângulo foi rotacionado 90° no sentido horário em torno deste ponto e nós obtivemos este novo triângulo. Portanto, o ponto imagem do ponto "M" aqui. Eu vou seguir o mesmo procedimento, obtendo A', o S' também, e ao ligar com o M', vamos ter o triângulo obtido pela rotação do triângulo "SAM" original. Vamos agora trabalhar com o ponto "A". Vou desenhar o triângulo retângulo, lembrando que a hipotenusa deve ligar o ponto "A" com o centro de rotação. Os outros dois lados, os catetos, têm que ser paralelos aos eixos, por exemplo, descendo aqui e fechando o triângulo retângulo. Eu poderia ter feito também aqui e aqui, tanto faz, o trabalho vai ser o mesmo. Vamos novamente rotacionar 90° no sentido horário, ou seja, este lado, ao rotacionar 90° em sentido horário, vai coincidir, em termos de direção, com o outro lado que já tínhamos aqui. Isso era esperado, porque eles coincidiram aqui também. Porém, este cateto agora tem o tamanho de 9 unidades. Veja, do -5 até o 4 temos 9 unidades, então ele vai ficar aqui, com o tamanho de 9 unidades. Partindo do -2 na direção das ordenadas com mais 9, ele vai chegar aqui, no 7 positivo, aqui estará. Este ponto é, portanto, equivalente a este. Com um ângulo de 90° aqui, este lado ao girar 90° sentido horário, vai vir para cá, também com o mesmo tamanho, 1, 2, 4, 5 unidades. Então, aqui com 5 unidades também, ele vem até aqui. Finalmente, temos a hipotenusa e a hipotenusa é que vai determinar a posição do ponto que nós vamos chamar de A', que é o ponto obtido, o ponto imagem do ponto "A". Então, este outro triângulo, ao ser rotacionado, nos deu este triângulo aqui. Temos até agora M', que é a imagem do ponto "M", temos A', que é a imagem do ponto "A". Pode observar também que os dois triângulos foram rotacionados em 90°. Nós obtivemos estes dois triângulos com o mesmo formato, mesmo tamanho, são congruentes aos originais, porém rotacionados 90° ao redor deste centro de rotação. Vamos agora trabalhar com o ponto "S", começando pela hipotenusa do triângulo retângulo, que é obtido ligando ponto "S" ao centro de rotação e fechando o triângulo retângulo facilmente aqui para obter a rotação desejada. Vamos rotacionar 90° em torno deste ponto no sentido horário. Então, este lado que era vertical, ao girar 90° no sentido horário, passará a ser horizontal com o mesmo tamanho aqui. Ele tinha 1, 2, 3 unidades de comprimento. Ao girar no sentido horário, ele vai ter 3 unidades para cá, aqui. Este lado vai ser rotacionado 90° no sentido horário, portanto, daqui ele vai ser rotacionado para cá, ele vai partir daqui, como já esperávamos, e ele tem o tamanho de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 unidades. Portanto, daqui, ele tem 7 unidades na direção vertical. Vamos marcá-lo, 7 unidades na direção vertical. Com isso, podemos também traçar a hipotenusa e determinar perfeitamente a posição do ponto S', que é a imagem do ponto "S". Observando mais uma vez, este triângulo amarelo, rotacionado, me deu este novo triângulo amarelo. Podemos traçar o triângulo obtido pela rotação S' ligando com A', que liga com M' e fechamos novamente em S'. Este triângulo em preto é o resultado da rotação do triângulo original que já ficou escondido aqui, em -270°, ou melhor dizendo, em 270° em torno deste ponto que era o centro de rotação. Lá na plataforma, nós vamos ter que localizar os novos pontos obtidos, então vamos marcá-los aqui para facilitar. O ponto S' tem as coordenadas 1 na abscissa, 5 na ordenada. O ponto A' tem abscissa 9, ordenada 7, (9, 7). E o ponto M' tem abscissa 8, ordenada 5. (8, 5). Vamos colocá-los lá para verificar. O ponto S' tem coordenadas (1, 5), aqui está. O ponto A' é o (9, 7), aqui está. Finalmente o ponto M', é o ponto (8, 5), aqui temos. E podemos fechar o novo triângulo. Observe que o aspecto dos dois triângulos realmente é o mesmo, eles só sofreram uma rotação. Vamos checar a resposta. Perfeito, resposta correta, nós rotacionamos o triângulo "SAM" original em 270° em torno do ponto (4, -2). Até o próximo vídeo!