Como reescrever raízes como expoentes racionais

RKA- Aqui nesse problema, ele nos pede o seguinte: determine se cada expressão abaixo é equivalente a raiz sétima de v³. Então, você pode agora pausar o vídeo, tentar resolver, que eu vou dar a solução. Uma das maneiras de eu resolver isso daqui é tentar escrever essa raiz sétima de v³ de várias outras formas, por exemplo, através de expoentes fracionários. Então aqui, raiz sétima de v³, isso é a mesma coisa que o quê? Aqui eu tenho v³ e aqui eu tenho a raiz sétima, a raiz sétima é o expoente 1 sétimo, então, eu posso colocar aqui que é v³, é o que está dentro da raiz aqui, radicando, elevado a 1 sétimo. E isso daqui é a mesma coisa, eu posso multiplicar esses expoentes que eu vou ter o seguinte, eu vou ter v elevado a 3 vezes 1 sétimo e 3 vezes 1 sétimo é a mesma coisa que 3 sétimos. Então, vamos verificar aqui qual delas bate e qual não bate. Essa última aqui, você percebe que de fato é equivalente. V elevado a 3 sétimos é a mesma coisa que v a 3 sétimos, então aqui é equivalente. Aqui, v³ elevado a 1 sétimo, está escrito dessa forma aqui, então é equivalente, podemos colocar aqui assim. E essa primeira aqui? Raiz cúbica de v⁷. Eu posso tentar simplificar também da seguinte maneira, eu tenho ali o "v", que está elevado a 1 terço, que é a mesma coisa que a raiz cúbica, que está elevado a sétima potência. Isso daqui, quando multiplicar esses expoentes, é a mesma coisa que "v" elevado a 7 terços. E você percebe que não é a mesma coisa, "v" elevado a 7 terços não é a mesma coisa que "v" elevado a 3 sétimos, então não é equivalente. Vamos fazer mais? Vamos que isso aqui é muito interessante. Agora, esse daqui então: a equação a seguir é verdadeira para g maior, igual a zero e "d" é uma constante. Qual é o valor de "d"? Está aqui então, essa equação, vamos tentar escrever de maneira que eu obtenha esse valor de "d". A raiz sexta de g⁵, eu posso colocar aqui na forma de expoente fracionário da seguinte maneira, eu posso colocar g⁵, que é o radicando, elevado a que expoente? 1 sexto. Então, 1 sexto. Isso daqui, quando eu multiplicar os expoentes é a mesma coisa que "g" elevado a 5 sextos. E você percebe que o "g" está elevado a cinco sextos aqui e aqui o "g" está elevado a "d". Logo, chega a conclusão que esse "d" tem que ser igual a 5 sextos, "d" aqui é 5 sobre 6. Vamos fazer mais um aqui para a gente treinar essas habilidades que são muito importantes. A equação a seguir é verdadeira para x igual a zero e "d" é uma constante. Está aqui a equação, qual é o valor de "d"? Pause o vídeo, tente fazer que eu vou dar a solução de novo. Vou reescrever isso daqui de maneira a obter um expoente fracionário. Então, a raiz sétima de x é a mesma coisa que o x elevado a 1 sétimo, vai ficar assim: 1 sobre esse mesmo 1 aqui, sobre x elevado a 1 sétimo. Isso daqui é a mesma coisa que o x elevado àquele "d". Agora repara só, aqui eu tenho um x no denominador, então, eu posso inverter, calcular o recíproco dessa fração e pegar o expoente aqui simétrico, com um sinal diferente. Então, vou ter que aquilo é a mesma coisa que x elevado a -1 sétimo. Isso é igual a x elevado a "d". Agora percebe um negócio aqui comigo. Isso aqui, esse expoente do x e esse expoente do x aqui também, como são bases iguais, têm que ser iguais, então o "d" é igual a -1 sétimo. Uma outra maneira de eu verificar isso daqui é fazer o seguinte: se eu calcular o recíproco dessa fração aqui, isso é a mesma coisa que eu elevar o denominador no expoente -1. Então vai ficar, x elevado a 1 sétimo, que está elevado a -1. E aí, ao multiplicar os expoentes, eu tenho que o x é igual a -1 sétimo, que vai ser exatamente igual a x elevado a "d", e aí eu chego à conclusão novamente que o "d" é igual a -1 sétimo, então, de qualquer maneira, não importa como você faça, você vai chegar à conclusão que o "d" é igual a -1 sobre 7. Até o próximo vídeo!