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Conversão de dízimas periódicas em frações (parte 2 de 2)

Transcrição de vídeo

RKA - No último vídeo, fizemos alguns exemplos onde tínhamos um dígito se repetindo o tempo todo e conseguimos convertê-lo em uma fração. Neste vídeo, queremos fazer algo um pouco mais interessante: múltiplos dígitos se repetindo o tempo todo para sempre. Então vamos dizer que tenho 0,36 repetindo, o que é a mesma coisa que zero vírgula, uma vez que a barra em cima do 36 também repete, 36, 36 e assim vai até o infinito. Agora, a chave para fazer esse tipo de problema é, em vez de multiplicar, como fizemos no último vídeo, a gente diz que isso é igual a "x", diríamos que multiplicar por 10, 10 só iria mudar para um lado e queremos mudar o suficiente para que, quando nós alinhássemos os números, as partes decimais ainda continuassem alinhadas umas com as outras. E para fazer isso, queremos mover a vírgula mais para a direita. Se a gente mudar para a direita, temos que multiplicar por 100 ou 10². "100x" "100x" vai ser igual a quê? Estávamos mudando isso para a direita. Um, dois, então "100x" vai ser igual a, a vírgula vai estar lá agora, vai ser 36,363636 e assim por diante. Deixa eu escrever novamente o "x" aqui. Vamos subtrair isso de "100x". "x" é igual a 0,363636, repetindo de forma periódica. E note, quando se multiplica por "100x", os 3 e os 6 ainda se alinham, quando nós alinhamos os decimais, e queremos ter certeza de que os decimais se alinhem apropriadamente. A razão pela qual isso é válida é que agora, quando subtraímos os "x" de "100x", as partes que se repetem serão canceladas. Então vamos subtrair. Deixa eu subtrair esses dois. Do lado esquerdo de dentro tem "100x" - "x", que dá "99x". E aí temos do lado direito de dentro, essa parte se cancela com aquela e ficamos com 36. Sobram 36. Podemos dividir os dois lados por 99 e nos sobra "x" igual a 36 sobre 99. E tanto o numerador como o denominador são divisíveis por 9. Podemos reduzir isso, dividindo o numerador por 9 e temos 4, e aí o denominador por 9 e temos 11. Então, 0,363636 para sempre é igual a 4 11 avos. Agora vamos fazer outra coisa interessante. Digamos que eu tenha e vamos dizer que é igual a "x", vamos dizer que, se tivéssemos um número, 0,714 e 14 está se repetindo. Isso é a mesma coisa. Isso é 0,714 se repetindo e só 14 vai se repetir. Então, isso é 0,7141414 e assim por diante. Vamos dizer que esse é igual a "x". Então você pode estar querendo multiplicar isso por mil para ter o decimal todo. Um, sete e um, quatro. Você limpa toda parte decimal de 7 1 4 mas, na verdade, não quer fazer isso, quer mudar o suficiente para que o padrão de repetição esteja certo por si mesmo quando fizer a subtração. Tendo essa situação, mesmo sabendo que temos três números atrás da vírgula porque apenas dois estão se repetindo, apenas um vai multiplicar por 10 à segunda potência. Então mais uma vez quero multiplicar por 100. "100x" é igual a, desloca a vírgula para a direita, um, dois, vai ser 71,41 41 e assim por diante. Então vai ser 71,414141 e por aí vai. Deixa eu escrever o "x" aqui embaixo, nós temos "x" que é igual a 0,7141414. E note, agora, 141414 estão alinhados entre eles, então vai funcionar quando nós subtrairmos. Vamos subtrair esses "100x" - "x" é "99x" e isso vai ser igual a, esse 14 14 são cancelados, e temos 71,4 menos 0,7. Podemos fazer isso de cabeça ou podemos emprestar se a gente quiser. Isso vai ser 14, isso é um zero e aí você tem vírgula, 14 menos 7 é 7, e aí 7 menos 0, você tem "99x" é igual a 70,7. E aí podemos dividir os dois lados por 99. Você pode ver algumas coisas estranhas acontecendo porque ainda temos uns decimais, mas podemos consertar isso no fim. Vamos dividir os dois lados por 99. Vamos dividir os dois por 99. Você obtém "x" é igual a 70,7 sobre 99. E obviamente ainda não convertemos isso numa fração final. Temos um decimal no numerador, mas é bem fácil de consertar. Você só tem que multiplicar o numerador e o denominador por 10 para se livrar desses decimais. Então vamos multiplicar o numerador por 10 e o denominador por 10. E aí temos 707 sobre, sobre 990. Vamos fazer mais um exemplo aqui. Digamos que a gente adicione alguma coisa tipo, deixa eu escrever aqui, 3,257. Repetindo, você quer converter isso em uma fração, então, mais uma vez, fazemos isso igual a "x" e você vê, isso vai ser 3,257 257 257, vai ficar se repetindo. Uma vez que temos três dígitos repetindo, a gente quer multiplicar isso. Você quer pensar em "1.000x". 10 à terceira potência de "x". Então mudando para a direita, só para repetir as partes que são canceladas. Obtemos "1.000x", "1.000x" que vai ser igual ao que, vamos mudar a vírgula para a direita, um, dois, três, vai ser 3.257 vírgula, e aí o 257 vai ser repetido periodicamente. Continua se repetindo. E vamos subtrair "x" disso aqui. Então, aqui "x" é igual a 3. Tenho que ter certeza de que seus decimais estão alinhados. 3,257 257 257 até o infinito. Quando a gente multiplica por 1.000, é permitido alinhar o 257, assim quando subtraímos, as partes periódicas são canceladas. Vamos fazer aquela subtração: do lado esquerdo "1.000x" menos "1x", ficamos com "999x" é igual a, essa parte vai ser cancelada com essa, vai ser igual a, vamos ver: 7 menos 3 é 4, e aí tem o 5, o 2 e o 3. Então, você obtém "999x" igual a 3.254. Você pode dividir o numerador ou dividir os dois lados disso por 999, os dois lados por 999 e você fica com "x" igual a 3.254 sobre 999. Obviamente, essa é uma fração imprópria, onde o numerador é maior que o denominador e pode converter isso a uma fração própria se quiser. É uma forma de descobrir ao quê a vírgula 257 e se repetindo é igual. Tem o 3 como sendo a parte inteira de uma fração misturada. Ou, simplesmente pode dividir 999 por 3.254. Na verdade, você poderia fazer isso direto. Vai ser 3 vezes e o restante, deixa eu fazer isso, vou fazer os movimentos. Os 999 vão dentro do 3.254. E vai ser 3 vezes. E a gente sabe disso porque é originalmente 3,257. Então, nós vamos apenas encontrar o restante: 3 vezes 9 é 27. Temos que adicionar o 2. Então, vai ser 29. 3 vezes 29 é 27, temos o 2, então é 29. Sobra, se subtrairmos, se a gente reagrupar ou emprestar, ou como quiser chamar isso, pode ser 14, isso pode ser um 4, deixa eu fazer isso em uma cor nova. Isso vai ser um 4 e o 4 ainda é menor que esse 9, então precisamos reagrupar de novo. Pode ser 14. Isso pode ser o 1. E isso é menor que esse 9. Isso vai ser 11 e isso é um 2. 14 menos 7 é 7. 14 menos 9 é 5. 11 menos 2 é 2. Por fim, então sobra, eu fiz isso certo? É. Isso vai ser igual a 3 e 257 sobre 999. E terminamos.