Introdução à notação científica

RKA5GM - Na ciência, você vai lidar com vários números, não importa se estuda Biologia, ou Química ou Física. Sempre há números envolvidos. Em muitos casos, os números são muito grandes. Há muitos, muitos números grandes. Números muito grandes, ou números muito, muito, muito, muito pequenos. Números muito pequeninos. Você pode imaginar alguns números muito grandes. Se eu te perguntar, por exemplo: quantos átomos há no corpo humano ou quantas células há no corpo humano? Ou, qual o peso da Terra em quilogramas? Esses são números muito grandes. Se te perguntar o peso de um elétron, seria um número muito, muito, muito pequeno. Em qualquer tipo de ciência, lidaremos com esse tipo de números. Como exemplo, deixa eu mostrar um dos números mais comuns que vai ver especialmente em Química, que é o número de Avogadro. Número de Avogadro. E se eu escrever do mesmo jeito que a gente escreve números, ele literalmente seria como... Vou fazer de outra cor, seria 6022, e então, em seguida, viriam outros 20 zeros: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Mesmo se eu colocar alguns pontos aqui, não vai ajudar muito para torná-lo mais legível. Deixa eu colocar alguns pontos. Ainda é um número grande, e nem... Você sabe, se eu tivesse que escrever isso em um pedaço de papel, ou se tivesse que publicar um artigo sobre, digamos, o uso do número de Avogadro, demoraria muito para escrever. Além disso, é difícil dizer se esqueci algum zero, ou se talvez escrevi zero demais. Então, isso é um problema. Existe uma maneira melhor de escrever isso? Sim. Existe uma maneira melhor de escrever do que escrever o número todo assim. Para escrever, literalmente, o 6 seguido pelos 23 dígitos, ou 6, 0, 2, 2 seguido pelos 20 zeros aqui. A resposta para a pergunta, caso esteja curioso, o número de Avogadro, se tivermos 12g de carbono, especialmente, 12g de carbono, -12, esse é o número de átomos que teríamos. Sabemos que 12g são mais ou menos 1 sobre 83 de 1kg, isso nos dá uma ideia de quantos átomos estão por aí a qualquer momento. É um número enorme. O objetivo aqui não é ensinar um pouco de Química. É falar sobre uma maneira mais fácil de escrever isso. E a maneira mais fácil de escrever isso é chamada de "notação científica". Vai por mim! Mesmo se não parecer algo natural para você, realmente é uma maneira mais fácil de escrever coisas como essas. Vamos... Antes de mostrar como fazer, deixa eu mostrar a teoria oculta por trás da notação científica. Se eu te disser quanto é 10⁰, sabemos que é igual a 1. Quanto é 10¹ ? Bom, é igual a 10. Quanto é 10² ? Isso é 10 vezes 10, é 100. Quanto é 10³ ? 10³ é 10 vezes 10 vezes 10, que é igual a 1.000. Acho que vemos o padrão geral aqui. 10⁰ não tem zeros, sem zeros nele. Certo? 10¹ tem 1 zero. 10², 10² tem 2 zeros. Finalmente, 10³ tem 3 zeros. Acho que você já sacou, 3 zeros. Se eu fizer 10¹⁰⁰, como seria? Não quero escrever tudo aqui, mas seria 1 seguido por, você já sabe, 100 zeros, então teríamos vários zeros. Se tivesse que contar todos esses zeros, teríamos 100 zeros bem aqui. Na verdade, isso pode ser um fato interessante. Você pode não saber qual o nome desse número, ele é chamado de... Googol! Um googol! Se no início dos anos 90, alguém dissesse: "ei, sabe, isso é um googol", você não pensaria no mecanismo de busca. Pensaria no número 10¹⁰⁰, que é um número enorme. Se, na verdade... é mais que o número de átomos, ou que o número de átomos estimado do universo conhecido. No universo conhecido, quer dizer, você sabe, levanta a pergunta do que mais existe lá fora. Mas li isso e não faz muito tempo, se me lembro exatamente. O universo conhecido é da ordem de 10⁷⁹ a 10⁸¹ átomos. Isso é claro, é uma aproximação, ninguém é capaz de contar isso. As pessoas apenas estimam, ou melhor, chutam mesmo. Mas é um número enorme. Mas ainda mais interessante para você, esse número foi a motivação por trás do nome do famoso mecanismo de busca "Google". Googol com "ol". Eu não sei por que pronunciei "Google", talvez eles tenham o nome do domínio. Talvez queiram armazenar toda essa informação. Sei lá! Talvez esse é número de bytes de informação, ou é só uma palavra legal, também. O que quer que seja, pode ter sido, sabe... o número favorito do fundador. Mas é uma coisa legal. Enfim, eu estou viajando aqui. Isso é um googol, só 1 com 100 zeros, mas poderia escrever também como 10¹⁰⁰, que é claramente uma maneira mais fácil de escrever, é mais simples. De fato, isso é tão difícil de escrever que eu nem me dei o trabalho de escrever. Demoraria muito tempo. Isso aqui são 20 zeros, 100 zeros teria enchido a tela, e você acharia entediante, então, eu nem escrevi. Então, claramente, é mais fácil de escrever. Você pode muito bem pensar: "certo! Isso só é bom para potências de 10, certo? Mas como podemos escrever algo que não é uma potência direta de 10? Como podemos usar a força da simplicidade de alguma forma?" Para fazer isso, precisamos apenas perceber uma coisa. Esse número... vamos escrever esse número como... ele tem quantos dígitos? 1, 2, 3, e, então, 20 zeros, temos 23 dígitos depois dos 6. Certo? 23 dígitos depois dos 6. O que acontece, se eu usar isso... se eu tentar chegar perto dele com uma potência de 10? E se eu dissesse 10²³? Com essa cor roxa. 10²³, isso é igual a quê? A 1 com 23 zeros. Então, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, dá para ter uma ideia. Isso é 10²³. Podemos, de alguma forma, escrever esse número como se multiplicássemos esse por 6. O que é 6? Se multiplicarmos 6 vezes 10²³, o que obtemos? Bom, teremos apenas um 6 com 23 zeros. Temos um 6 e, em seguida, teremos 23 zeros. Vamos escrever isso, teremos 23 zeros assim. Tudo que eu fiz... Se pegarmos 6 vezes isso, sabemos como multiplicar, temos 6 vezes esse 1, e obtemos 6, e 6 vezes todos os zeros vão resultar em zero. Teremos 6 seguido por 23 zeros. Isso é bastante útil, mas ainda não escrevemos esse número. Quer dizer, ele tinha uns 2 aqui. Como podemos fazer um pouco melhor? E se escrevêssemos como um decimal? Esse número aqui é idêntico a esse número, se os 2 fossem zero. Mas se quisermos colocar esses 2 aqui, o que podemos fazer? Poderíamos colocar alguns decimais aqui. Poderíamos dizer que é o mesmo que 6,022 vezes 10²³. Agora, esse número é idêntico a esse número, mas na maneira de escrever é muito mais simples. Podemos verificar. Vai demorar bastante. Talvez a gente devesse começar com um número menor. Mas se multiplicar 6,022 vezes 10²³, vai obter esse número aqui. Vai obter o número de Avogadro. Número de Avogadro. Apesar disso ser complicado, ou parecer pouco intuitivo no começo, isso é apenas um número escrito por extenso. Ele tem uma multiplicação e um 10¹. Você pode dizer: "Isso não é simples", mas, na verdade, é, porque imediatamente sabemos quantos zeros há. E é, obviamente, uma maneira muito mais curta de escrever esse número. Vamos fazer mais alguns. Eu comecei com o número de Avogadro, porque mostra verdadeiramente a necessidade da notação científica para que não tenhamos que escrever números assim várias vezes. Vamos fazer outros. Vamos apenas escrever os números em notação científica. Digamos que tem um número que seja o número 7.345, quero escrevê-lo em notação científica. Acho que a melhor maneira de pensar nisso é: 7.000 e 345. Como representar o 1.000? Bom, 10³ é 1.000. A gente sabe que 10³ é igual a 1.000. Essencialmente, a maior potência de 10 que couber aqui é 7.000. Então, isso são 7.000. Em seguida, 0,3 vezes 1.000, 0,04 vezes 1.000. Não sei se isso ajuda. Podemos escrever isso como 7,345 vezes 10³, porque serão 7.000 + 0,3 vezes 1.000. Quanto é 0,3 vezes 1.000? 0,3 vezes 1.000 é 300. Quanto é 0,04 vezes 1.000? É 40. Quanto é 0,005 vezes 1.000? É 5. 7,345 vezes 1.000 é igual a 7.345. Vamos multiplicar, só para deixar claro. Se eu multiplicar 7,345 vezes 1.000, o jeito que eu faço, ignoro o "0", só multiplico o 1 vezes esse número aqui, então temos 7, 3, 4, 5, e temos 3 zeros aqui, então os coloco no fim. Tenho 3 casas decimais, 1, 2, 3. 1, 2, 3, coloco o decimal aqui. E, está aí! 7,345 vezes 1.000 é mesmo 7.345. Vamos fazer mais alguns. Digamos que a gente queira escrever o número 6 em notação científica. Obviamente, não é necessário escrever em notação científica. Mas como você faria? Qual a maior potência de 10, que cabe em 6? A maior potência de 10 que cabe em 6 é apenas 1. Pode escrever como algo vezes 10⁰, que é apenas 1. Certo? É apenas 1. 6 é o que vezes 1? Bom, apenas 6. 6 é igual a 6 vezes 10⁰. Na verdade, não é necessário escrever assim, isso é muito mais simples. Agora, e se quiséssemos representar algo assim? Comecei o vídeo dizendo: "ciência, você lida com números muito grandes e muito pequenos". Digamos que tem um número... Vou fazer dessa cor. Digamos que temos o número 1. E temos 1, 2, 3, 4, e depois, digamos, 5 zeros, e temos seguido por um 7. De novo, não é fácil lidar com esse número. Qual é a maior potência de 10 que cabe nesse número? Pela qual esse número é divisível? Vamos pensar. E todas as potências de 10 que fizemos antes eram positivas, ou seriam, sim, potências positivas de 10. Também poderíamos considerar potências negativas de 10. Sabemos que 10⁰ é 1. Vamos começar por aqui. 10⁻¹ é igual a 1/10, que é igual a 0,1. Vou mudar de cor. Vou fazer de rosa. 10⁻² é igual a 1 sobre 10², que é igual a 1/100, que é igual a 0,01. Acho que entendeu a ideia. Deixa eu fazer só mais um para você entender bem. 10⁻³ é igual a 1 sobre 10³, que é igual a 1/1000, que é igual a 0,001. O padrão geral aqui é que 10 elevado a qualquer potência negativa é o número de casas decimais que teremos depois da vírgula. Aqui, não é o número de zeros. Aqui, 10⁻³, só temos 2 zeros, mas temos 3 casas decimais depois da vírgula. Qual é a maior potência de 10 que cabe nisso? Quantas casas decimais tenho depois da vírgula? Eu tenho 1, 2, 3, 4, 5, 6. 10⁻⁶ é igual à vírgula... Teremos 6 casas decimais depois da vírgula. O último ponto vai ser... ou a última casa vai ser 1. Então teremos 5 zeros e um 1. Isso é 10⁻⁶. Agora, esse número aqui é 7 vezes esse outro, certo? Se multiplicarmos isso vezes 7, obtemos 7 vezes 1, e em seguida temos 1, 2, 3, 4, 5, 6 números depois da vírgula. 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Esse número vezes 7 é claramente igual ao número com o qual começamos. Podemos reescrever esse número. Podemos reescrever, em vez de escrever esse número todas as vezes. Podemos escrever como sendo igual a esse número. Ou podemos escrever como 7, é igual a 7 vezes esse número. Mas esse número não é melhor que esse outro. Mas esse número é o mesmo que 10⁻⁶. 7 vezes 10⁻⁶. Agora, pode imaginar. Bom, números como... imagine o número... e se tivéssemos um 7... Deixa eu pensar, se tivéssemos um 7 e um 3 bem aqui. O que podemos fazer? Bom, vamos para o primeiro dígito aqui. Porque essa é a maior potência de 10 que temos, que cabe nesse termo aqui. Se quisermos representar isso... Deixa eu escrever. Vou fazer outro decimal parecido com aquele. Vejamos, eu escrevi 0,0000516, quero representar isso em notação científica. Vou para o primeiro dígito zero. O primeiro que não é zero, não o primeiro zero, que está aqui. E ok. Qual é a maior potência de 10 que cabe aqui? Será 1, 2, 3, 4, 5. Será igual a 5,16. Então, eu pego o 5 aqui e todo o resto vai ficar depois da vírgula, vezes 10. Então essa é a maior potência de 10, que cabe neste primeiro número diferente de zero, é 1, 2, 3, 4, 5, 10⁻⁵. Vamos fazer outro exemplo. O que queria demonstrar era... Vamos para o primeiro, vamos para o primeiro, começando da esquerda, o primeiro número diferente de zero. É a partir deles que se obtêm a potência. Foi daí que eu tirei meu 10⁻⁵, porque contei 1, 2, 3, 4, 5. Temos que contar esse número, como fizemos aqui. Todo o resto fica atrás da vírgula. Vamos fazer outro exemplo. Se tivermos... E minha esposa sempre diz que tenho que escrever um zero na frente da vírgula, porque ela é médica, e se alguém não ver a vírgula, alguém pode ter uma overdose de remédios. Vamos escrever do jeito dela. 0,0000000008192. Claramente, esse é um número bem desajeitado, não é? E sabe que pode esquecer de um zero, ou colocar demais, o que pode ser caro, se estiver fazendo uma pesquisa científica importante. Ou talvez, eu não iria prescrever remédios em uma dose tão pequena. Ou talvez, iria. Não quero entrar nesse papo. Mas como escreveria em notação científica? Começa no primeiro número diferente de zero. Se for começar da esquerda, será 8,192, eu coloquei a vírgula e escrevi 0,192 vezes 10 elevado a quanto? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, tenho que incluir esse número, 10⁻¹⁰. Acho que vai achar razoavelmente satisfatório que esse número é mais fácil de escrever que esse outro número. Agora, e essa é outra característica poderosa da notação científica. Digamos que temos esses dois números e queremos multiplicá-los, digamos que queira multiplicar o número por 0,005 vezes o número 0,0008. Essa é uma multiplicação bem direta. Mas algumas vezes pode ficar meio estranho, especialmente, se estivermos lidando com 20 ou 30 zeros dos dois lados da vírgula. Vou colocar um zero aqui, para deixar minha mulher feliz. Ao fazer na notação científica, na verdade, fica mais simples. Esse termo pode ser reescrito como 5 vezes 10 elevado a quanto? Tenho 1, 2, 3 espaços depois da vírgula, 10³. E isso é um 8, então temos vezes 8 vezes 10 elevado... desculpa, isso é 5 vezes 10⁻³. Isso é muito importante. 5 vezes 10³ seria 5.000. Toma cuidado com isso. Esse termo igual a quê? Esse é 1, 2, 3, 4 casas depois da vírgula. Então, temos 8 vezes 10⁻⁴. Se multiplicarmos números, ou seja, se multiplicarmos esses dois termos é o mesmo que 5 vezes 10⁻³ vezes 8 vezes 10⁻⁴. Não há nada de especial a respeito da notação científica. Significa, literalmente, o que está dizendo. Para a multiplicação, a gente pode escrever assim. E na multiplicação, a ordem dos fatores não importa. Então posso reescrever como 5 vezes 8 vezes 10⁻³ vezes 10⁻⁴. E quanto é 5 vezes 8? Sabemos que é 40. Temos 40 vezes 10⁻³ vezes 10⁻⁴. E sabendo as regras dos expoentes, sabemos que, quando multiplicamos 2 números que têm a mesma base, podemos somar seus expoentes. A gente pode somar o - 3 e o - 4, fica igual a vezes 10⁻⁷. Vamos a outro exemplo. Digamos que temos que multiplicar o número de Avogadro. A gente sabe que é 6,022 vezes 10²³. Digamos que vamos multiplicar esse número por um número bem pequeno. Digamos que é 7,23 vezes 10⁻²². Esse é um número bem pequeno. Teremos uma vírgula, e em seguida teremos 21 zeros, e depois teremos um 7, um 2 e um 3. É um número bem pequeno. Mas, na multiplicação, quando fazemos na notação científica adequadamente 6,022 vezes 10²³ vezes 7,23 vezes 10⁻²², podemos trocar a ordem. Então fica igual a 6,022 vezes 7,23, isso é uma parte. Então podemos fazer desta a primeira parte da notação científica, vezes 10²³ vezes 10⁻²². E agora, teremos que fazer um pouco de multiplicação decimal aqui. Vai ser um número... 40 e poucos, se não me engano, não consigo fazer assim de cabeça. Aqui, teremos isso vezes 10²³ vezes 10⁻²². Basta somar os expoentes. Temos 10¹, e esse número, qualquer que seja, vou deixar aqui, porque não tenho uma calculadora. 7,23, vamos ver quanto vai ser. 7,2, vejamos... 0,2 vezes... isso é 1/5, vai ser 41 e alguma coisa. Então, isso é aproximadamente 41 vezes 10¹. Ou de outra maneira, é, aproximadamente, um pouco mais que 410. E, para ter um número exato, na verdade, temos que fazer essa multiplicação. Espero que vejam que a notação científica é muito útil para números muito grandes e muito pequenos, não somente é mais útil para entender os números e para escrevê-los, mas também para simplificar as operações entre os números.