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Introdução às raízes cúbicas

Transcrição de vídeo

RKA - Vamos continuar um pouco com as raízes quadradas. Vamos lembrar, por exemplo, que sete elevado ao quadrado resulta em 49. Muito bem, isso quer dizer, também, que o 7 é a raiz quadrada de 49. De onde podemos concluir o seguinte: a raiz quadrada de 49, que é equivalente a sete, ao elevar ao quadrado, veja, isso é sete. Ao elevar ao quadrado, sete ao quadrado, 49. Ou seja, a raiz quadrada de um número elevado ao quadrado resulta no próprio número que era o radicando, o número que estava dentro da raiz. Escrevendo de maneira mais genérica, poderíamos escrever que a raiz quadrada de um número qualquer x, ao elevar ao quadrado, resulta no próprio x, desde que seja possível obter o valor da raiz quadrada do número que está aqui. Isso quer dizer o seguinte: x pode ser qualquer número e isso vai ser verdadeiro? Não. X teria que ser um número não negativo. Não negativo. Veja, x realmente tem que ser um número não negativo porque a raiz quadrada de um número negativo tem um resultado que se chama número complexo, que envolve a unidade imaginária e não faz parte deste estudo neste momento. Muito bem, mas o foco não é ficarmos trabalhando neste momento com a raiz quadrada, e sim avançarmos para a raiz cúbica. Primeiro, vamos lembrar que a ideia da raiz quadrada está associada à ideia da área do quadrado, ou do lado de um quadrado cuja área conhecemos. Veja, neste quadrado, por exemplo, para associar com essa ideia, se cada lado mede 7 então a área é obtida fazendo 7 vezes 7, que é 7 ao quadrado. E o lado é a raiz quadrada da área. De maneira geral, se tivermos aqui um quadrado cuja área é x, qual vai ser a medida de cada lado? A raiz quadrada do x. Se eu sei que essa área aqui é x, para saber a medida do lado eu extraio a sua raiz quadrada, porque a raiz quadrada de x elevado ao quadrado resulta em x. Vamos agora olhar um pouco para o cubo? Imagine que um cubo tenha aresta medindo duas unidades, e como é que o cálculo volume dele mesmo? Basta multiplicar dois, do comprimento, por dois de largura por dois de altura. 2 x 2 x 2, que a mesma coisa que 2 elevado à terceira potência. Por isso dizemos dois elevado o cubo, nos dá o volume de um cubo. E neste caso, dois elevado à terceira potência, ou seja, dois elevado ao cubo resulta em oito. Vamos pensar agora num cubo, mas vamos entender que já sabemos uma informação, que o volume desse cubo seja de oito unidades. E a pergunta que nós vamos fazer é: Quanto mede cada aresta, ou seja, cada dimensão dele aqui? Vamos dizer que mede x, que é o que nós queremos descobrir, aqui também, porque no cubo todas as arestas têm a mesma medida, e aqui também mede x. O que nós temos de informação aqui é que se o volume mede 8, ao calcular o volume nós devemos fazer x vezes x vezes x para dar resultado oito, porque eu já sei que o volume mede oito. Em outras palavras, x elevado ao cubo tem que ter resultado oito. X elevado à terceira, por causa disso aqui, tem que ser igual a oito. Ou nós podemos escrever o x como sendo justamente o que nós chamamos de raiz cúbica de 8, a raiz cúbica é relativamente parecida com a raiz quadrada, porém com um número 3 aqui por causa do elevado à terceira potência lá atrás, com oito aqui. Este é o índice da raiz e ele indica que estamos calculando a raiz cúbica. Na raiz cúbica nós temos... ou também chamada de raiz terceira, nós temos o índice 3 aqui para indicar a raiz cúbica. Isso é bem análogo à raiz quadrada, mas quando não há nenhum número escrito aqui nós assumimos que é o 2, que é a raiz quadrada, que tem a ver com o expoente 2. Vamos trabalhar com outro exemplo. Vamos dizer agora que nós precisamos calcular a raiz cúbica de 27. Estamos procurando a raiz cúbica de 27, e digamos que o resultado é um certo número x. Na verdade nós estamos procurando um número que vezes ele mesmo e vezes ele mesmo novamente, como aqui, dê resultado, não oito, mas agora 27. Por tentativa você rapidamente vê que o valor do x só pode ser três. Por que três vezes três dá nove, vezes três dá 27, ou seja a raiz cúbica de 27 resulta em três. Agora deixe-me fazer uma pergunta: Nós podemos obter, nós podemos calcular, a raiz cúbica de menos 64? Agora há pouco eu estava dizendo a você que esse valor aqui, na raiz quadrada, tinha que ser um número não negativo. O que aconteceria aqui? A pergunta que temos aqui é justamente que se esta raiz cúbica for igual número chamado de x, isto quer dizer que o menos 64 tem que ser igual ao x elevado ao cubo. Estamos perguntando aqui qual é o número que elevado ao cubo resulta em menos 64? Nós chamamos de x. É razoável procurarmos para ver se algum número negativo atende a isso, porque positivo seria realmente impossível. Pelas tentativas você poderia chegar facilmente em observar que menos quatro vezes menos quatro vezes menos quatro resulta em... vamos lá. Aqui negativo vezes negativo resulta positivo que vezes negativo outra vez resulta em negativo. Quatro vezes quatro, dezesseis, vezes 4 outra vez, 64. Ou seja, a raiz cúbica de menos 64 é exatamente o menos quatro. Ou seja, o que o x vale aqui? Nesse caso então x vale menos quatro. É possível obter a raiz cúbica de um número negativo. E essa história não para aqui, estamos falando da raiz cúbica, mas poderíamos olhar para a raiz quarta, raiz quinta e sexta, apenas trocando o índice aqui. Você vai pensar melhor sobre isso mais pra frente na sua carreira de estudante de matemática. Nós aqui fizemos algumas tentativas e chegamos a resultados para raízes quadradas e cúbicas, mas vamos pegar um outro exemplo. Vamos supor que precisamos agora calcular a raiz cúbica de 125. Raiz cúbica de 125. Uma forma razoavelmente fácil de obter é decompor o 125 em fatores primos, fatorar o 125 usando apenas fatores primos. Eu sei que 125 divide por cinco, e ao dividir por cinco eu tenho resultado 25, ou seja, cinco vezes cinco é 125. O 25 pode ser dividido por cinco e o resultado é 5, que já é um número primo, então já tenho a decomposição em fatores primos do 125, é 5 x 5 x5. Já que o 125 é 5 x 5 x 5, ou seja, 125 é cinco elevado ao cubo, então a raiz cúbica de 125 é a raiz cúbica de 5 elevado ao cubo. Então, naturalmente, o resultado disso é simplesmente 5, porque quem elevado ao cubo dá 125? Resposta: cinco. Em havendo números grandes aqui realmente não há uma maneira muito simples de obter a sua raiz cúbica, raiz quarta, raiz quinta etc. Até o próximo vídeo.