Demonstração da fórmula de Bhaskara

RKA - No vídeo "Completando quadrados", eu disse várias vezes que toda a equação quadrática é possível de ser obtida pelo método de completar os quadrados. Eu estava certo de que já havia feito essa prova mas, percebi que não, então, deixa eu provar a equação quadrática para você, pelo método de completar os quadrados. Digamos, que a gente tenha uma equação quadrática, acho que uma equação quadrática é o que está tentando resolver e o que muitas pessoas chamam de equação quadrática é, na verdade, a fórmula quadrática. Mas, enfim, eu não quero ficar preso em terminologias. Digamos que a gente tem uma equação quadrática escrita como: "Ax" ao quadrado mais "Bx" mais "B" igual a zero. Vamos só completar quadrados aqui. Como vamos fazer isso? Vamos subtrair "C" dos dois lados para obtermos: "ax²" mais "bx" igual a "-c". Como eu havia dito no vídeo "Completando quadrados", não gosto de ter esse coeficiente aqui, gosto de ter só um coeficiente no meu termo "x²", por isso divido tudo por "a". Obtemos: "x²" mais "B" sobre "A" vezes "x" igual, você tem que dividir os dois lados por "A", "-C" sobre "A". Agora, estamos prontos para completar o quadrado. O que era completar o quadrado? Bom, é, de alguma forma, adicionar algo a essa expressão para que tenha a forma de algo que é o quadrado de uma expressão. O que eu quero dizer com isso? Bom, vou dar um exemplo aqui do lado. Temos (x + a) ao quadrado é igual a "x²" mais 2 "ax" mais "a²". Se pudermos adicionar alguma coisa aqui, para que esse lado esquerdo desta expressão, se pareça com isso, então, poderemos fazer de outra forma. Podemos dizer que isso será "x" mais algo ao quadrado. O que temos que adicionar aos dois lados? Se assistiu ao vídeo "Completando quadrados", isso deveria ser intuitivo para você, pelo menos, eu espero. O que faz é dizer: "Bom, esse B sobre A corresponde com o termo 2a, então, "a" vai ser metade disso, vai ser metade desse coeficiente. Esse seria o "a". O que precisamos adicionar é "a²", precisamos tirar metade disso e elevar ao quadrado e adicioná-los aos dois lados. Deixa eu fazer isso em uma cor diferente. Rosa. Vou tirar metade disso, só estou completando o quadrado, isso é tudo que estou fazendo. Não tem mágica aqui. Mais metade disso, bom, metade daquilo é "B" sobre 2a, certo? Você, apenas, multiplica por um sobre dois e tem que elevar ao quadrado. Se fizemos isso para o lado esquerdo da equação, temos que fazer para o lado direito. Mais ("B" sobre 2a) ao quadrado. Agora, tenho esse lado esquerdo da equação na forma que é o quadrado de uma expressão, que é "x" mais alguma coisa, e o que é isso? É igual a, deixa eu mudar de cor de novo. Com o que o lado esquerdo dessa equação se iguala? E você pode, apenas, usar esse padrão e para esquerda. É "x" mais o que? Bom, dissemos "a", pode ser feito de dois jeitos: "a" é 1 sobre 2 desse coeficiente ou "a" é a raiz quadrada desse coeficiente. Ou, considerando que nem ao menos elevamos ao quadrado, sabemos que isso é "a", "B" sobre 2a é "a", isto é a mesma coisa que (x + B sobre 2A) ao quadrado. Então, isso é igual. Vejamos se podemos simplificar isso ou fazer um pouco mais limpo. Isso é igual, veja, se fosse para termos um denominador comum, só estou fazendo um pouco de álgebra aqui, quando eleva ao quadrado vai ser 4a², deixa eu escrever isso. Isso é igual a "B²" sobre 4A², certo? Se tivermos que adicionar essas duas frações, deixa eu fazer isso é igual a 4A² ao quadrado, certo? E o denominador é 4A² e o que o "-C" sobre "A" se torna? Se multiplicarmos o denominador por 4a, temos que multiplicar o numerador por 4A, isso vira -4"AC", correto? "B²" sobre 4A² é só "B²". Vou só fazer um pouco de álgebra, espero não estar te confundindo, acabei de expandir isso. Acabei de obter o quadrado disso, "B²" sobre 4A², então adicionei isso a isso e obtive um denominador comum. "-C" sobre "A" é mesma coisa que -4AC sobre 4A². Agora, podemos obter a raiz quadrada dos dois lados dessa equação, espero que isso esteja começando a ficar familiar para você. Obtemos "x", se tirar a raiz quadrada dos dois lados dessa equação, obtemos "x" mais "B" sobre 2A igual a raiz quadrada disso. Vamos tirar a raiz quadrada do numerador e do denominador. O numerador é vou colocar o "B²" primeiro, só vou inverter essa ordem, não importa, a raiz quadrada de "B²" -4AC, certo? Isso é só o numerador. Acabamos de obter a raiz quadrada e, agora, temos que obter a raiz quadrada do denominador também. Qual é a raiz quadrada de 4A²? Bom, é apenas, 2A, certo? 2A. Agora, o que fazemos? Isso é muito importante, quando estamos tirando a raiz quadrada não é, apenas, a raiz quadrada positiva, é a raiz quadrada positiva ou negativa. Vimos isso duas vezes quando fizemos e, pode-se dizer, que é um "mais ou menos" aqui também, mas se olhar um mais ou menos em cima e um mais ou menos em baixo, pode escrever isso apenas uma vez em cima. Vou deixar você pensar porque tem que escrever apenas uma vez. Se tivéssemos o negativo e um mais, às vezes cortamos ou um negativo e um negativo é a mesma coisa que ter, apenas, um mais em cima. Enfim, eu acho que entendeu. Agora, temos, apenas, que subtrair "B" sobre 2A dos dois lados e, obtemos, essa é a parte divertida, obtemos "x" igual a "-B" sobre 2A "mais ou menos" isso, a raiz quadrada de "B²" menos 4AC, tudo sobre 2A. Já temos um denominador comum, então, podemos, apenas, somar as frações. Temos, vou fazer isso em um negrito vibrante, talvez, não tão vibrante, cor verde. Então, obtemos: "x" igual a, numerador, "-B" mais ou menos a raiz quadrada de "B²" menos 4AC tudo sobre 2A. E essa é a famosa fórmula quadrática, aí está. Nós a provamos, apenas, ao completar o quadrado. Espero que tenha achado interessante, a gente se vê no próximo vídeo. Fui!