Fatoração de trinômios do quadrado perfeito: fator comum negativo

RKA - Temos que fatorar menos 4t ao quadrado menos 12t menos 9. Podemos começar perguntando se tem fatores comuns para todos os temos. Vemos que os dois primeiros são indivisíveis por 4. Os dois últimos são indivisíveis por 3, mas nem todos são indivisíveis por um número. Dá para excluir o -1 da fatoração. Mas mesmo assim, se disser que isso é igual a -1 × 4t² + 12t + 9, ainda assim ficaria com um coeficiente diferente de 1 aqui. E no termo de segundo grau, no termo "t²" melhor começar logo a agrupar. Se fatorar por agrupamento, vai dar certo e vai chegar à resposta certa. Mas tem algo em relação a esta expressão, que pode tornar um pouco mais simples de solucionar. Para entender isso, vamos abrir parênteses aqui ao lado, para pensar no que acontece se pegar (a + b) × (a + b), e se tiver um binômio ao quadrado. Tem "a × a", que é "a²". Tem "a × b", que é "+ab". Depois, temos "b × a" que é igual a "ab". E depois temos "b × b", que é "b²". Se adicionar estes dois termos, ficamos com a² + 2ab + b². Este é o quadrado de um binômio. Agora, o 4t² + 12t + 9, se encaixa no padrão? O "4t²" é "a²". Então, este é "a²". Se é "a²", qual será o "a"? Se é "a²", "a" seria igual a raiz quadrada disso. Seria "2t". E se isto é b². Vou mudar de cor. Se aqui é "b²", se o 9 é "b²", então b = 3. É igual a raiz quadrada positiva de 9. Agora, este número. Na verdade, não precisa ser igual só a 3, poderia ser menos 3 também, poderia ser mais ou menos 3. Mas esse número aqui é 2 vezes ab, certo? É o termo do meio que nos interessa. 2 vezes ab. Se multiplicar 2t por 3, fica com 6t e se multiplicar por 2, fica com 12t. O 12t é igual a 2 vezes 2t vezes 3. É 2 vezes ab. Se fosse 1 menos 3, a gente veria como menos 12, mas não funciona para mais 3, então isso se encaixa no padrão de um quadrado perfeito, isto é o quadrado de um binômio. Se quisesse fatorar isso, o que está aqui dentro. E ainda tem o menos 1 fora, o 4t² + 12t + 9, poderia dizer: isto vai ser (a + b) × (a + b) ou 2t, (2t + 3) × (2t + 3) Ou poderia dizer que é (2t + 3)². Se encaixa no padrão, e claro que não dá para esquecer deste menos 1 aqui fora. Também podemos usar o agrupamento, mas assim é mais fácil de reconhecer. Este é um número ao quadrado, e este é outro, se pegar cada um dos números ao quadrado, pegar seu produto e multiplicar por 2, tem esse resultado. Portanto, isto é um quadrado perfeito.