Introdução à diferença de dois quadrados

RKA - Nós vamos agora explorar um tipo especial de fatoração chamado diferença de quadrados. Esse nome se dá porque as suas expressões se parecem um pouco com isto aqui, que é, exatamente, o mesmo que x² menos 3². Veja que esta expressão representa a diferença, isto é, a subtração entre duas quantidades que estão elevadas ao quadrado. Antes de mostrar como isso funciona, vamos lembrar um pouco sobre a multiplicação de binômios. Vamos multiplicar (x + a) por (x - a), sendo "a" um número qualquer. Geralmente, resolvemos isso pelo método que chamamos de distributiva, em que pegamos um lado desta fatoração e multiplicamos pelos elementos individuais do outro lado. Então, a partir desta distributiva, nós teremos que "x" vezes "x" dá x², "x" vezes +a dá ax, menos "a" vezes "x" dá -ax, menos "a" vezes "a" dá -a². Ainda desta expressão, temos que estes dois fatores irão se anular, sobrando x² menos a², que é uma diferença de quadrados. Temos um resultado interessante, onde vemos que x² menos a² é igual a "x" mais "a" vezes "x" menos "a", que é a mesma expressão inicial. E nós podemos usar esse padrão para qualquer "a", inclusive para fatorar esta expressão à esquerda: o "a" é 3, então, fatorando através do nosso padrão, nós temos que x² menos 9 é igual a "x" mais o "a" vezes "x" menos o "a". Como no nosso caso, o "a" é 3, vamos substituir e teremos: x² menos 9 é igual a "x" mais 3 vezes "x" menos 3. Vamos para um exemplo com outros números. Suponha y² menos 25. Veja que temos um "y", e não um "x", mas é uma incógnita da mesma forma, e vamos aplicar o nosso padrão da mesma forma também. Então, aplicando o nosso padrão, teremos que y² menos 25 é igual a "y" mais alguma coisa, vezes "y" menos alguma coisa. Esse 'alguma coisa' seria o "a" do exemplo acima. Veja que o "a" é uma expressão que está ao quadrado de um lado da igualdade, e ela estará em sua forma não ao quadrado do outro lado da igualdade, dentro dos parênteses. Aqui, o ao quadrado é 25. Temos de pensar qual número ao quadrado é 25, e chegamos a 5. Logo, teremos que y² menos 25, sendo que 25 é 5², é igual a "y" mais 5, vezes "y" menos 5. Outro exemplo: você pode escrever 121 menos b², que dá no mesmo, porque 121 é a mesma coisa que 11², de modo que teremos 121 menos b² igual a 11 mais "b", vezes 11 menos "b". De modo geral, temos um elemento ao quadrado sendo subtraído de outro elemento ao quadrado, sendo que esses elementos podem ser definidos como: 1, 4, 9, 16 e assim por diante; podem ser indefinidos, como "a", "b", "c", "d", ou podem ser variáveis, tais como "x", "y", "z". O importante é que haja uma subtração entre dois elementos elevados ao quadrado. Agora, um erro comum que eu vejo as pessoas cometerem, inclusive eu quando estava aprendendo isso, é que após reconhecer uma diferença de quadrados, como y² menos 25, iguala esta expressão a "y" mais 25 vezes "y" menos 25; está incorreto. É importante prestar atenção no que está ao quadrado e no que não está. Note que, neste caso, o "y" está ao quadrado, mas o 25 é 5², logo, o número que deve ser fatorado não é o 25, e sim o 5. Portanto, fiquem atentos para não cometer esse erro. Encorajo você a tentar praticar isso. Há uma seção de prática no site da Khan Academy onde você pode praticar muitos exemplos até tudo isso se tornar familiar.