If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Fatoração de equações do segundo grau com duas variáveis

Neste vídeo, fatoramos x^2+4xy-5y^2 como (x-y)(x+5y). Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA - Em nosso kit de ferramentas, já dispomos daquelas para fatorar algo como "x² + 4x - 5" e pensamos em fazer assim: dois números cujo produto seria -5 e cuja soma seria +4. O fato de seu produto ser negativo, nos diz que um deles vai ser positivo e que o outro vai ser negativo. Tem algumas formas de fazer isso. Dá para dizer: "bom, talvez um dos números seja -1 e o outro 5". De fato, assim parece funcionar; "(-1)‧(5)" é igual a -5, "-1 + 5" vai dar +4. Então, esse, na verdade, parece funcionar. A outra opção teria sido (visto que estamos apenas lidando com os fatores de 5, e 5 é um número primo)... a outra opção teria sido algo como 1 e -5. Tem somente dois fatores para 5, então 1 e -5; seu produto teria sido -5. Mas, se você fosse somar esses dois números, teria obtido um -4 bem aqui. Iremos com -1 e 5; e isso diz que, se quiser fatorar usando as ferramentas que já conhecemos, teremos... (deixa eu escrever esses números com uma cor diferente para a gente poder continuar acompanhando tudo)... -1 e 5. A gente sabe que iria fatorar para "(x - 1)‧(x + 5)". Dá para verificar que, se você fosse multiplicar, obteria "x² + 4x - 5". Você pode até mesmo ver isso aqui: "(x)‧(x)" é "x²”, "-x + 5x" vai ser "4x", e "(-1)‧(5)" são -5. Exatamente! Tudo é uma revisão para nós até esse ponto. Agora, quero fazer algo um pouco mais interessante. Digamos que queremos fatorar "x² + 4xy - 5y²". Primeiro, parece realmente desencorajador; de repente, introduzi um "y" e um "y²" aqui e tenho duas variáveis, como eu resolvo? Mas o importante é só respirar fundo e perceber que não estamos fundamentalmente fazendo algo diferente. Agora, a única coisa bem complicadinha que eu fiz foi quando escrevi desse jeito. E te encorajo a pausar por aqui tentar sozinho antes de eu dar mais explicações. O que fiz de complicado foi que escrevi o "x" antes do "y" (e aquilo tende a ser o convencionado; você só os inscreve em ordem alfabética), mas, como queremos deixar as duas expressões parecidas e fazer com que a segunda seja semelhante à primeira, basta apenas trocar "x" e "y” de lugar, porque, então, nós poderemos escrevê-lo como “x² + 4yx - 5y²". Agora, fica mais claro que esse termo "4y” (esse bem aqui) é o coeficiente do termo "x", da mesma forma que 4 era o coeficiente do "x" aqui, e esse "-5y²” corresponde ao -5 aqui; então, podemos seguir a mesma linha de raciocínio. Vamos pensar em dois... e agora não somente números, eles vão ter variáveis neles... vamos pensar em dois termos ou duas expressões que, se eu as multiplicar, terei "-5y²", e quando eu pego a soma, eu tenho "4y". Vamos pensar sobre como poderíamos fazer. Uma opção seria, positivo, vamos dizer "+y" e "-5y”. Onde isso nos levaria? “(+y)‧(-5y)", de fato, seria igual a "-5y²". Mas, então, se eu somar "y" a "-5y", vou obter "-4y", então isso não funciona. Vamos ver se trocarmos os dois sinais. Que tal "-y" e "+5y"? Aqui, se eu pegar o produto de "-y” e "5y", esse será "-5y²". E, se eu somar "-y" e "5y”, o resultado será "+4y". Então, agora, a gente sabe como fatorá-lo. (Aí, mais uma vez, vou fazer da mesma cor, esse eu vou colocar em roxo mais claro e esse num roxo mais escuro). Agora, a gente já sabe fatorar isso, e isso é exatamente a mesma forma como fizemos aqui (é exatamente a mesma ideia). Esse vai ser "x". Em vez de apenas um -1, agora que fatoramos aqui, a gente fatora em um -1 e 5. Aqui, fatoramos em um "-y" e "5y". Em vez de um -1, vai ser um "-y". "(x - y)‧(x + 5y)". E dá para verificar quando multiplica (de fato, torna igual a "x² + 4xy - 5y"). Deixa eu fazer aquilo, daí a gente vai saber com certeza. “(x)‧(x)” vai ser "x²"... (deixa eu fazer tudo numa cor diferente)... "(x)‧(5y)" vai ser mais "+5xy", Aí, "(-y)‧(x)" é "-yx". E, aí, finalmente... (eu estou ficando sem cores)... se pegar "(-y)‧(5y)", é "-5y²". Agora, só tem que simplificar; tem que combinar esses dois meio termos. E, primeiro, parece um pouco... isso é "xy" e isso é "yx", o que não é tão óbvio, mas só tem que reescrever... é igual a "5yx - yx". E, aqui, você fala: "olha, tem o '5yx' e vou subtrair o 'yx', então vou ter '4yx' (apenas '4yx'). Tenho '5yx', tiro o outro 'yx', vou ter '4yx'. Então, vai ser 'x² + 4yx - 5y²' e fica tudo certo".