Fatoração de equações do segundo grau: divisor comum negativo + agrupamento

RKA - Precisamos fatorar -12f ao quadrado menos 38f mais 22. Um bom lugar para começar para ver se há algum fator comum para todos esses termos. Quando olhamos para eles são todos pares, não gostamos de número negativo aqui. Vamos dividir tudo ou vamos fatorar um -2. Essa expressão é a mesma coisa que: -2 vezes, quanto é menos 12f ao quadrado dividido por -2? É mais 6f ao quadrado. -38 dividido por -2 é mais 19, será mais 19f. E o 22 dividido por -2 é: -11. Simplificamos um pouquinho. Temos o 6f ao quadrado mais 19f menos 11. Vamos focar apenas nessa parte aqui. O melhor jeito para fatorar isso, como não temos o 1 aqui como coeficiente do f ao quadrado, é preciso fatorar por agrupamento, precisamos procurar dois números cujo produto é 6 vezes -11. Dois números "a" vezes "b" precisa ser igual a 6 vezes -11 ou -66, e "a" mais "b" precisa ser igual a 19. Vamos tentar alguns números aqui. Vejamos, 22, estou pensando só em números que sejam próximos a 19, pois terão que ter sinais diferentes, 22 e 3. Eu acho que vai rolar. Vamos ver: Se pegarmos 22 vezes -3, é -66 e 22 mais -3 é igual a 19. A forma com que chego bem próximo a esse número é, terão sinais diferentes, as versões positivas deles terão que ser em torno de 19, isso funcionou: 22 e -3. Podemos reescrever esse 19f como a a soma do menos 3f e do 22f, é a mesma coisa que 19f. Eu só desmembrei e, claro, temos 6f ao quadrado e temos o menos 11. Você, provavelmente, está dizendo: por que colocou 22 aqui e o -3 ali? Por que não fez outro jeito e não colocou o 22 e depois o -3 ali? Minha principal motivação para fazer isso, é que eu gosto de colocar ao menos 3 do mesmo lado dos 6 porque eles têm o fator comum 3. Gosto de colocar 22 com o menos 11. eles têm o mesmo fator comum 11, por isso que decidi fazer assim. Vamos fazer um agrupamento: não podemos esquecer desse menos dois que estava aqui o tempo todo. Deixa eu colocar esse menos dois aqui, mas vou deixá-lo quieto um pouquinho. Vamos a alguns agrupamentos, vamos agrupar esses dois primeiro. Vamos agrupar esse, vou usar uma cor bonitinha, e vamos agrupar esses outros dois. A cor é quase idêntica. Vou fazer com uma cor roxa. Depois podemos agrupar esses outros dois. Esses dois podemos fatorar um -3f vezes 6f ao quadrado, dividido por -3f é -2f. É -2f. E o -3f dividido por -3f é apenas mais f. Na verdade, um jeito melhor para começar, em vez de fatorar um -3f, vamos apenas fatorar 3f para não termos um negativo aqui. Podemos fazer também dessa forma, mas se vamos fatorar 3f, 6f ao quadrado dividido por 3f é 2f e, o -3f dividido por 3f é igual a -1, é isso que fatoramos. Essa segunda parte em roxo escuro, pode fatorar o 11. Se fatorarmos 11, 22f dividido por 11 é 2f e, -11 dividido por 11 é -1. Mais uma vez, temos esse -2 esperando aqui, temos esse -2. Agora, dentro dos parentes, temos dois termos: os dois que têm 2f menos 1 como fator, podemos fatorar. Tudo isso é apenas um exercício feito de trás para frente na propriedade distributiva, se quiser. Vamos fatorar esse. Se temos 2f menos 1 vezes esse 3f e vezes esse mais 11, deixa eu fazer com o mesmo tom do roxo dali. Sabemos que podemos distribuir, se quisermos, 2f menos 1 vezes 3f fornecerá esse termo, 2f menos um vezes 11 fornecerá esse termo. Não podemos esquecer que ainda temos o -2 esperando ali fora. Quero mudar as cores desse, um -2 ainda está esperando e, acabamos a fatoração, -12f ² menos 38f mais 22 é igual a -2 vezes (2f menos 1) vezes (3f mais 11).