Cálculo do divisor comum: modelo de área

RKA - O retângulo abaixo tem uma área de 15k⁴ + 35k³ + 20k² metros quadrados. Então é isso aqui, a gente tem esse retângulo grande, você percebe que ele está dividido em três outros retângulos, um deles é esse verde, que tem área de 15k⁴, o outro é esse roxo, que tem a área de 35k³ e esse azul, que tem a área de 20k². Claro que a área toda, vai ser a soma disso daqui tudo, como está mostrando aqui em cima. A largura do retângulo em metros é igual ao máximo divisor comum entre os monômios de 15k⁴, 35k³ e 20k². Então, ele está falando da largura que é essa medida. Então, essa medida aqui é que vai ter ali como medida o máximo divisor comum entre esses monômios aqui. Está claro? Então, aqui é o seguinte: qual é o comprimento e a largura do retângulo? A gente vai ter que colocar aqui. Para fazer isso daqui, eu vou, primeiro, ter que fatorar esses coeficientes aqui e depois a parte literal, a parte da letra. Então, começando pelos coeficientes, vou fatorar aqui o 15, esse 15 aqui é a mesma coisa que 3 vezes 5, e aí não dá mais para fatorar, 3 vezes 5, acabou aqui. O 35 é a mesma coisa que 5 vezes 7. E aí também não dá mais para fatorar, porque 5 e 7 são números primos. E o 20? O 20 é a mesma coisa que 4 vezes 5, só que o 4 eu ainda posso fatorar como sendo 2 vezes 2. E aí, você percebe que o máximo divisor comum desses números aqui, do 15, 35 e do 20, ele é quem? É o 5! Tem 5 aqui, 5 aqui e 5 aqui. Uma outra maneira da gente perceber isso é fazer a lista dos divisores do 15, 35 e 20. Então, 15, quais são os divisores do 15? 15 é divisível por 1 e por 15, porque 1 vezes 15 dá 15 ou 3 vezes 5, então 3 e 5 aqui também. 1, 3, 5 e 15 são os divisores do 15. Do 35, 35, eu posso escrever como sendo 1 vezes 35, ou posso escrever como sendo 5 vezes 7. Então, 1, 5, 7, 35 e o 20? O 20 pode ser, 1 vez o 20, ou então 2 vezes 10, certo? Ou então, 4 vezes 5. Esses aqui são os divisores do 20, você percebe que o maior de todos eles é o 5, que aparece nas 3 listas ao mesmo tempo. Aqui aparece o 5, aqui aparece o 5 e aqui aparece o 5. Ele é o maior, é o máximo divisor comum e portanto, eu já sei aqui que o máximo divisor comum de 15, 35 e 20 vai ser o 5. E a parte literal agora, a parte que tem a letra, a parte que tem a letra vai ser o seguinte: eu tenho k⁴, aqui eu tenho k³, aqui eu tenho k², dá para gente perceber que o k² é divisor de todos eles e é o maior. Entre esses aqui, o que tem o menor grau é exatamente k². Então, consigo dividir o k³, o k² k⁴ também divido por k² e o k², claro, é divisível por ele próprio. Então aqui, vai entrar o k². Então, 5k² é o valor dessa largura aqui. Então, 5k². E agora o comprimento? Para calcular o comprimento, eu preciso efetuar a divisão. Então, 15k⁴ dividido, já que a área é 15k⁴ aqui nesse retângulo verde, então divido por 5k² para obter esse segmento aqui, então vamos lá. Ali vai ser o seguinte: é 15 dividido por 5, dá 3 e k⁴ dividido por k² vai dar k². Agora aqui, esse retângulo roxo, 35 dividido por 5 vai dar 7, certo? K³ dividido por k² vai dar k. E nesse retângulo azul, 20 dividido por 5 dá 4 e k² dividido por k² vai dar 1, 4 vezes 1 é o próprio 4. Então, esse segmento todo do comprimento, que vai daqui até aqui, vai ser a soma desses valores, é 3k²+7k +4. Então, a gente já pode escrever isso daqui: a largura em metros vai ser quanto? A gente calculou aqui, 5k², então 5k². E o comprimento? É isso daqui! Então vai ser: 3k² + 7k + 4, e aí você percebe o seguinte, como a área do retângulo, a área toda do retângulo aqui é a base dele, ou comprimento multiplicado pela altura, que ali está sendo representado pela largura, então se eu multiplicar esse comprimento aqui, por esse comprimento aqui, eu vou ter essa área aqui. Vamos verificar se isso está certo. Se a gente pegar, 5k² e multiplicar por 3k² + 7k + 4, a gente vai obter exatamente aquilo ali, 5k² vezes 3k², dá 15k⁴. 5k² vezes 7k, 35k³, e 5k² vezes 4 vai dar 20k², então, de fato, retornamos para essa expressão aqui e finalizamos um problema, conseguimos calcular largura e o comprimento. Até o próximo vídeo!