If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Problema de funções lineares: pintura

Considerando uma descrição verbal de uma relação do mundo real envolvendo uma pessoa pintando seu quarto, encontrar a fórmula da função que representa essa relação.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA - Hiro pintou sua sala em uma taxa de 8 metros quadrados por hora. Depois de 3 horas de pintura, ele ainda tinha 28 metros quadrados restantes para pintar. Então, estamos falando aqui de quanto resta para ele pintar e não de quanto ele já pintou. Seja A(t) a área que resta para ser pintada A (que é medida em metros quadrados) uma função do tempo t (medido em horas). Então, essa área que resta para ser pintada, é uma função do tempo medido em horas. Escreva a fórmula da função. O que eu vou fazer aqui é tornar isso daqui um pouco mais fácil de ser entendido, fazendo uma tabelinha aqui, então vamos ver o que significa aqui o nosso tempo, que é medido em horas e a relação que esse tempo tem com a área que resta para ser pintada em função do tempo. Ele nos dá aqui a seguinte informação, que depois de 3 horas de pintura, ele ainda tinha 28 metros quadrados restantes para serem pintados, novamente a gente sabe que essa área aqui é o que resta para ser pintado, não que já foi pintado, vamos tomar cuidado com isso. Então, é o seguinte, 3 horas, vou deixar esse espaço aqui, que eu vou colocar, zero hora, 1 hora, 2 horas, 3 horas, em 3 horas, o que resta para ser pintado? Restam 28 metros quadrados. Como ele me diz aqui no problema que são 8 metros quadrados por hora que ele pinta, se eu retornar aqui 1 hora, ou seja, quando, se tiverem passado 2 horas, quanto restaria para ser pintado? 8 metros quadrados a mais. Então aqui, seriam 36 metros quadrados. Você compreendeu por que é que deu um valor maior do que esse 28 aqui? Porque a nossa área é quanto resta para ser pintado. Então, 1 hora antes, como ele pinta 8 metros quadrados por hora, 1 hora antes aqui, ou seja, quando se passaram 2 horas de pintura, ainda restava para ele pintar 36 metros quadrados. E aí, 1 hora depois, após 3 horas aqui de pintura, falta para ele pintar 28 metros quadrados. É por isso então, quando eu estou voltando no tempo, eu não diminuo essa área, porque essa aqui não é a área que foi pintada, é a área que resta para ser pintada. Vou ter que adicionar aqui 8 unidades. E tem a seguinte relação: conforme o tempo aumenta, o que acontece com a área que falta para ser pintada? Ela diminui. Conforme o tempo passa, ele pinta mais, então falta menos para ele pintar. Portanto, agora você compreendeu, então nós temos que adicionar 8 unidades aqui. Logo 28 + 8 vai dar 36 metros quadrados que faltariam para ele pintar após duas horas de pintura, dada essas condições do problema. E se eu retornar aqui mais 1 hora? Ou seja, após 1 hora de pintura, quanta diária faltaria para ele pintar? Vou ter que adicionar 8 unidades, ou seja, 44 metros quadrados. E se a gente retornar aqui mais 1 hora, voltar lá para o tempo inicial, quanto que faltaria para ele pintar? Ou seja, a área total do lugar que ele está pintando? Seria de 52, 44 + 8, 52 metros quadrados. Agora repare o que acontece aqui, se eu adicionar 1 hora aqui, ou seja, o meu Δt, sendo igual a +1, o que acontece com o meu ΔA? Ou seja, com a área que falta para ser pintada? O ΔA nesse caso aqui vai diminuir 8 metros quadrados. Olha aqui, de 52 passou para 44, então, se eu cresço 1 hora, eu diminuo 8 metros quadrados na área que falta para ser pintada. E isso aqui faz todo o sentido porque essa variação da área que falta para ser pintada tem que ser negativa, já que conforme o tempo passa, ele pinta mais, então, a área que falta para ser pintada tem que ser menor e menor e menor a cada momento. Vamos ver agora se a gente consegue escrever essa fórmula então. Você já percebeu aqui, que cada vez que o nosso delta "t" aumenta 1 hora, o nosso delta "a" vai diminuir 8 metros quadrados. É a mesma coisa que acontece aqui, aumenta uma hora e aqui vai diminuir 8 metros quadrados, ele fala isso para a gente aqui no enunciado, 8 metros quadrados por hora é o que ele pinta. E sempre que você está descrevendo alguma coisa que acontece em uma taxa constante, você está lidando aqui com uma função linear e a função linear, pode ser escrita da seguinte maneira: meu A(t) vai ser igual ao "m", que multiplica o "t" mais o "b", que é o nosso ponto inicial. Essas aqui são as letras que a gente tem de a usar para a nossa variação aqui, que é a inclinação da reta, se nós formos fazer o gráfico, e para o nosso ponto inicial, que vai ser também aqui o ponto onde a reta vai cortar o eixo do y. E agora aqui, eu já posso calcular esse "m", a nossa variação, a nossa inclinação da reta na verdade, vou fazer aqui de azul, então esse nosso "m" vai ser igual ao ΔA, a variação no "a" da área que falta para ser pintada, dividido pelo Δt, pela variação no tempo. E isso aqui, como você pode perceber daqui, eu vou ter igual a -8, -8 dividido por 1 que vai dar -8, ali nos diz isso daqui. A cada hora que passa são 8 metros quadrados a menos, então, isso daqui vai ser igual a -8, nosso valor do "m". E o valor do "b"? O valor do "b" é quando a gente calcula que o A(0), valor inicial, que é quando "t" é igual a zero, isso daqui vai embora e eu fico apenas com o valor do "b". O A(0) é igual a "b". E quanto é o A(0)? O A(0) quando o tempo é zero, o "A" é 52. Então, "b" vai ser igual a 52. Logo, eu posso escrever no lugar do "b", 52 e no lugar do "m", o -8. Agora, vamos rescrever isso daqui só para a gente se divertir um pouquinho mais. Meu A(t) vai ser igual a -8 vamos lá, fazer na cor correspondente, -8, que multiplica o tempo mais 52. Então, essa daqui vai ser a fórmula e nós finalizamos; só que agora, só quero escrever aqui as unidades também para a gente entender mais profundamente como isso funciona, ou seja, posso reescrever isso daqui como sendo A(t) igual a -8, - 8 metros quadrados por hora. Então, -8 metros quadrados por hora, que multiplica pelo tempo, conforme o tempo passa diminui 8 metros quadrados e portanto, eu vou ter aqui, isso daqui multiplicado por "t" horas. Esse "t" está em horas, então só para você não pensar que é uma variável esse "h", vou escrever aqui horas, "t" horas, vou escrever as horas aqui também , e eu ainda tenho que somar a esse valor 52 metros quadrados, que é o valor quando o "t" é igual a zero. Aqui você percebe o seguinte, essas horas podem ser simplificadas com essas horas aqui. Daí eu vou sobrar apenas aqui com os metros quadrados. Então, vou ficar com -8 metros quadrados, multiplica pelo tempo, mais 52 metros quadrados. Então, fico apenas com os metros quadrados e isso me dá o valor da área que resta para ser pintada. Agora, muito cuidado. Como eu sei que esse "A" aqui é a área que resta para ser pintada, então, sei que essa minha taxa de variação vai ser negativa, ela não vai ser positiva, você percebe que aqui, da a entender que é positivo, são 8 metros quadrados por hora que ele pinta, porém, o que eu quero saber é a área que resta para ser pintada. Então, conforme o tempo passa, a área que resta para ser pintada diminui. Portanto, essa nossa taxa de variação aqui vai ser negativa, tem que tomar cuidado com isso. Percebendo isso, eu poderia fazer o seguinte aqui, eu poderia fazer o A(t) como sendo igual a -8 vezes o "t", que eu sei que a variação é negativa, então -8 vezes "t" mais um determinado número "b", que eu não sei qual é ainda, mas eu posso usar essa informação aqui para determinar. Então, vamos lá, eu sei o seguinte, eu sei quando o "t" é igual a 3, a minha área vai ser igual a 28, então vou ter aqui o seguinte, aqui vai ser 28, aqui o "t" vai ser igual a 3, então vou ter aqui 28, vai ser igual a -24 mais o "b", esse - 24 é o -8 vezes 3. E aqui é o seguinte, agora posso somar 24 em ambos os lados, e aí eu vou ter 28 + 24, que vai dar 52 e isso vai ser igual então, quando eu somar 24 desse lado aqui também, vai simplificar o 24, eu vou ter apenas o "b". Logo, eu chego à conclusão que o "b" é igual a 52, exatamente o mesmo resultado que eu encontrei fazendo daquele outro jeito. Eu gosto de fazer esse primeiro jeito aqui apenas para a gente ter aquela noção profunda do que está acontecendo. Até o próximo vídeo!