Problema de funções lineares: pintura

RKA - Hiro pintou sua sala em uma taxa de 8 metros quadrados por hora. Depois de 3 horas de pintura, ele ainda tinha 28 metros quadrados restantes para pintar. Então, estamos falando aqui de quanto resta para ele pintar e não de quanto ele já pintou. Seja A(t) a área que resta para ser pintada A (que é medida em metros quadrados) uma função do tempo t (medido em horas). Então, essa área que resta para ser pintada, é uma função do tempo medido em horas. Escreva a fórmula da função. O que eu vou fazer aqui é tornar isso daqui um pouco mais fácil de ser entendido, fazendo uma tabelinha aqui, então vamos ver o que significa aqui o nosso tempo, que é medido em horas e a relação que esse tempo tem com a área que resta para ser pintada em função do tempo. Ele nos dá aqui a seguinte informação, que depois de 3 horas de pintura, ele ainda tinha 28 metros quadrados restantes para serem pintados, novamente a gente sabe que essa área aqui é o que resta para ser pintado, não que já foi pintado, vamos tomar cuidado com isso. Então, é o seguinte, 3 horas, vou deixar esse espaço aqui, que eu vou colocar, zero hora, 1 hora, 2 horas, 3 horas, em 3 horas, o que resta para ser pintado? Restam 28 metros quadrados. Como ele me diz aqui no problema que são 8 metros quadrados por hora que ele pinta, se eu retornar aqui 1 hora, ou seja, quando, se tiverem passado 2 horas, quanto restaria para ser pintado? 8 metros quadrados a mais. Então aqui, seriam 36 metros quadrados. Você compreendeu por que é que deu um valor maior do que esse 28 aqui? Porque a nossa área é quanto resta para ser pintado. Então, 1 hora antes, como ele pinta 8 metros quadrados por hora, 1 hora antes aqui, ou seja, quando se passaram 2 horas de pintura, ainda restava para ele pintar 36 metros quadrados. E aí, 1 hora depois, após 3 horas aqui de pintura, falta para ele pintar 28 metros quadrados. É por isso então, quando eu estou voltando no tempo, eu não diminuo essa área, porque essa aqui não é a área que foi pintada, é a área que resta para ser pintada. Vou ter que adicionar aqui 8 unidades. E tem a seguinte relação: conforme o tempo aumenta, o que acontece com a área que falta para ser pintada? Ela diminui. Conforme o tempo passa, ele pinta mais, então falta menos para ele pintar. Portanto, agora você compreendeu, então nós temos que adicionar 8 unidades aqui. Logo 28 + 8 vai dar 36 metros quadrados que faltariam para ele pintar após duas horas de pintura, dada essas condições do problema. E se eu retornar aqui mais 1 hora? Ou seja, após 1 hora de pintura, quanta diária faltaria para ele pintar? Vou ter que adicionar 8 unidades, ou seja, 44 metros quadrados. E se a gente retornar aqui mais 1 hora, voltar lá para o tempo inicial, quanto que faltaria para ele pintar? Ou seja, a área total do lugar que ele está pintando? Seria de 52, 44 + 8, 52 metros quadrados. Agora repare o que acontece aqui, se eu adicionar 1 hora aqui, ou seja, o meu Δt, sendo igual a +1, o que acontece com o meu ΔA? Ou seja, com a área que falta para ser pintada? O ΔA nesse caso aqui vai diminuir 8 metros quadrados. Olha aqui, de 52 passou para 44, então, se eu cresço 1 hora, eu diminuo 8 metros quadrados na área que falta para ser pintada. E isso aqui faz todo o sentido porque essa variação da área que falta para ser pintada tem que ser negativa, já que conforme o tempo passa, ele pinta mais, então, a área que falta para ser pintada tem que ser menor e menor e menor a cada momento. Vamos ver agora se a gente consegue escrever essa fórmula então. Você já percebeu aqui, que cada vez que o nosso delta "t" aumenta 1 hora, o nosso delta "a" vai diminuir 8 metros quadrados. É a mesma coisa que acontece aqui, aumenta uma hora e aqui vai diminuir 8 metros quadrados, ele fala isso para a gente aqui no enunciado, 8 metros quadrados por hora é o que ele pinta. E sempre que você está descrevendo alguma coisa que acontece em uma taxa constante, você está lidando aqui com uma função linear e a função linear, pode ser escrita da seguinte maneira: meu A(t) vai ser igual ao "m", que multiplica o "t" mais o "b", que é o nosso ponto inicial. Essas aqui são as letras que a gente tem de a usar para a nossa variação aqui, que é a inclinação da reta, se nós formos fazer o gráfico, e para o nosso ponto inicial, que vai ser também aqui o ponto onde a reta vai cortar o eixo do y. E agora aqui, eu já posso calcular esse "m", a nossa variação, a nossa inclinação da reta na verdade, vou fazer aqui de azul, então esse nosso "m" vai ser igual ao ΔA, a variação no "a" da área que falta para ser pintada, dividido pelo Δt, pela variação no tempo. E isso aqui, como você pode perceber daqui, eu vou ter igual a -8, -8 dividido por 1 que vai dar -8, ali nos diz isso daqui. A cada hora que passa são 8 metros quadrados a menos, então, isso daqui vai ser igual a -8, nosso valor do "m". E o valor do "b"? O valor do "b" é quando a gente calcula que o A(0), valor inicial, que é quando "t" é igual a zero, isso daqui vai embora e eu fico apenas com o valor do "b". O A(0) é igual a "b". E quanto é o A(0)? O A(0) quando o tempo é zero, o "A" é 52. Então, "b" vai ser igual a 52. Logo, eu posso escrever no lugar do "b", 52 e no lugar do "m", o -8. Agora, vamos rescrever isso daqui só para a gente se divertir um pouquinho mais. Meu A(t) vai ser igual a -8 vamos lá, fazer na cor correspondente, -8, que multiplica o tempo mais 52. Então, essa daqui vai ser a fórmula e nós finalizamos; só que agora, só quero escrever aqui as unidades também para a gente entender mais profundamente como isso funciona, ou seja, posso reescrever isso daqui como sendo A(t) igual a -8, - 8 metros quadrados por hora. Então, -8 metros quadrados por hora, que multiplica pelo tempo, conforme o tempo passa diminui 8 metros quadrados e portanto, eu vou ter aqui, isso daqui multiplicado por "t" horas. Esse "t" está em horas, então só para você não pensar que é uma variável esse "h", vou escrever aqui horas, "t" horas, vou escrever as horas aqui também , e eu ainda tenho que somar a esse valor 52 metros quadrados, que é o valor quando o "t" é igual a zero. Aqui você percebe o seguinte, essas horas podem ser simplificadas com essas horas aqui. Daí eu vou sobrar apenas aqui com os metros quadrados. Então, vou ficar com -8 metros quadrados, multiplica pelo tempo, mais 52 metros quadrados. Então, fico apenas com os metros quadrados e isso me dá o valor da área que resta para ser pintada. Agora, muito cuidado. Como eu sei que esse "A" aqui é a área que resta para ser pintada, então, sei que essa minha taxa de variação vai ser negativa, ela não vai ser positiva, você percebe que aqui, da a entender que é positivo, são 8 metros quadrados por hora que ele pinta, porém, o que eu quero saber é a área que resta para ser pintada. Então, conforme o tempo passa, a área que resta para ser pintada diminui. Portanto, essa nossa taxa de variação aqui vai ser negativa, tem que tomar cuidado com isso. Percebendo isso, eu poderia fazer o seguinte aqui, eu poderia fazer o A(t) como sendo igual a -8 vezes o "t", que eu sei que a variação é negativa, então -8 vezes "t" mais um determinado número "b", que eu não sei qual é ainda, mas eu posso usar essa informação aqui para determinar. Então, vamos lá, eu sei o seguinte, eu sei quando o "t" é igual a 3, a minha área vai ser igual a 28, então vou ter aqui o seguinte, aqui vai ser 28, aqui o "t" vai ser igual a 3, então vou ter aqui 28, vai ser igual a -24 mais o "b", esse - 24 é o -8 vezes 3. E aqui é o seguinte, agora posso somar 24 em ambos os lados, e aí eu vou ter 28 + 24, que vai dar 52 e isso vai ser igual então, quando eu somar 24 desse lado aqui também, vai simplificar o 24, eu vou ter apenas o "b". Logo, eu chego à conclusão que o "b" é igual a 52, exatamente o mesmo resultado que eu encontrei fazendo daquele outro jeito. Eu gosto de fazer esse primeiro jeito aqui apenas para a gente ter aquela noção profunda do que está acontecendo. Até o próximo vídeo!