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Matemática EF: 9º Ano
Prova do teorema do ângulo inscrito
Como demonstrar que um ângulo inscrito é metade de um ângulo central que subtende o mesmo arco.
Primeiros passos
Antes de começarmos a falar sobre a demonstração, vamos garantir que entendemos alguns termos sofisticados relacionados às circunferências.
Confira uma rápida atividade de combinar para ver se você consegue descobrir os termos sozinho:
Bom trabalho! Vamos usar esses termos em todo o resto do artigo.
O que vamos demonstrar
Estamos prestes a demonstrar que algo muito legal acontece quando um ângulo inscrito left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis e um ângulo central left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis interceptam o mesmo arco: a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
Visão geral da demonstração
Para demonstrar que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd para todos os start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff e start color #11accd, \psi, end color #11accd (como definidos acima), devemos considerar três casos separados:
Caso A | Caso B | Caso C |
---|---|---|
Juntos, esses casos abrangem todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo central interceptam o mesmo arco.
Caso A: o diâmetro está ao longo de um raio do ângulo inscrito, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
Etapa 1: encontrar o triângulo isósceles.
Os segmentos start overline, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, end overline e start overline, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, end overline são ambos raios, então eles têm o mesmo comprimento. Isso significa que o triangle, C, B, D é isósceles, o que também significa que os ângulos de sua base são congruentes:
Etapa 2: encontrar o ângulo raso.
O ângulo angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39 é um ângulo raso, então
Etapa 3: escrever uma equação e calcular start color #11accd, \psi, end color #11accd.
Os ângulos internos do triangle, C, B, D são start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd e left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, e sabemos que os ângulos internos de qualquer triângulo somam 180, degrees.
Legal. Finalizamos nossa demonstração do Caso A. Só faltam mais dois casos!
Caso B: o diâmetro está entre os raios do ângulo inscrito, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
Etapa 1: ser esperto e desenhar o diâmetro
Usando o diâmetro, vamos dividir start color #11accd, \psi, end color #11accd em start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd e start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd e start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff em start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff e start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, assim:
Etapa 2: usar o que aprendemos com o Caso A para estabelecer duas equações.
Em nosso novo diagrama, o diâmetro divide a circunferência em duas metades. Cada metade tem um ângulo inscrito com um raio sobre o diâmetro. Essa é a mesma situação que no Caso A, então sabemos que
e
porque aprendemos isso no Caso A.
Etapa 3: somar as equações.
O Caso B está finalizado. Falta só um!
Caso C: o diâmetro está fora dos raios do ângulo inscrito.
Etapa 1: ser esperto e desenhar o diâmetro
Usando o diâmetro, vamos criar dois novos ângulos: start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 e start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, assim:
Etapa 2: usar o que aprendemos com o Caso A para estabelecer duas equações.
De modo similar ao que fizemos no Caso B, criamos um diagrama que nos permite usar o que aprendemos no Caso A. Com base nesse diagrama, sabemos o seguinte:
Etapa 3: substituir e simplificar.
Pronto! Demonstramos que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd em todos os três casos.
Um resumo do que fizemos
Propusemo-nos a demonstrar que a medida de um ângulo central é o dobro da medida de um ângulo inscrito quando os dois ângulos interceptam o mesmo arco.
Começamos a demonstração estabelecendo três casos. Juntos, esses casos abrangem todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo central interceptam o mesmo arco.
Caso A | Caso B | Caso C |
---|---|---|
No caso A, identificamos um triângulo isósceles e um ângulo raso. A partir disso, elaboramos algumas equações usando start color #11accd, \psi, end color #11accd e start color #7854ab, theta, end color #7854ab. Com um pouco de álgebra, demonstramos que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
Nos casos B e C, inteligentemente introduzimos o diâmetro:
Caso B | Caso C |
---|---|
Isso tornou possível usar nosso resultado do Caso A, e foi o que fizemos. Nos casos B e C, escrevemos equações relacionadas às variáveis nas figuras, o que só foi possível graças ao que aprendemos no Caso A. Depois de estabelecermos nossas equações, usamos álgebra para mostrar que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
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