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Matemática EF: 9º Ano

Curso: Matemática EF: 9º Ano > Unidade 5

Lição 4: Ângulos inscritos
Matemática
Matemática EF: 9º Ano
Geometria
Ângulos inscritos
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Prova do teorema do ângulo inscrito

Google Sala de Aula
Como demonstrar que um ângulo inscrito é metade de um ângulo central que subtende o mesmo arco.

Primeiros passos

Antes de começarmos a falar sobre a demonstração, vamos garantir que entendemos alguns termos sofisticados relacionados às circunferências.
Confira uma rápida atividade de combinar para ver se você consegue descobrir os termos sozinho:
Usando a imagem, faça a combinação das variáveis com os termos.
Uma circunferência contendo três pontos. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do segundo ponto. Um arco formado pelo primeiro e pelo segundo pontos está identificado como alfa. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.
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Bom trabalho! Vamos usar esses termos em todo o resto do artigo.

O que vamos demonstrar

Uma circunferência contendo três pontos. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do segundo ponto. O arco formado pelo primeiro e pelo segundo pontos está identificado como alfa. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto mede cinquenta graus. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto mede vinte e cinco graus.
Estamos prestes a demonstrar que algo muito legal acontece quando um ângulo inscrito left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis e um ângulo central left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis interceptam o mesmo arco: a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Visão geral da demonstração

Para demonstrar que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd para todos os start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff e start color #11accd, \psi, end color #11accd (como definidos acima), devemos considerar três casos separados:
Caso ACaso BCaso C
O caso A tem três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus no sentido horário do primeiro ponto. O terceiro ponto está a cento e oitenta graus no sentido horário do primeiro ponto. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto, que passa pelo centro, e pelo segundo ponto está identificado como psi.
No caso B, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a mais de noventa graus do primeiro pontono sentido horário. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.
No caso C, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a menos de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.
Juntos, esses casos abrangem todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo central interceptam o mesmo arco.

Caso A: o diâmetro está ao longo de um raio do ângulo inscrito, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

O caso A tem três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus no sentido horário do primeiro ponto. O terceiro ponto está a cento e oitenta graus no sentido horário do primeiro ponto. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto, que passa pelo centro, e pelo segundo ponto está identificado como psi.

Etapa 1: encontrar o triângulo isósceles.

Três pontos A, C e D estão na circunferência centrados em torno do ponto B. O ponto D está a menos de noventa graus do ponto A, no sentido horário. O ponto C está a cento e oitenta graus do ponto A no sentido horário. O segmento de reta A C é um diâmetro. O segmento de reta D C é uma corda. Os segmentos de reta B A, B C e B D são raios com r unidades de comprimento. O ângulo formado pelos pontos A, B e D está identificado como teta. O ângulo formado pelos pontos B C D está identificado como psi. Um ângulo formado pelos pontos B, D e C está identificado como psi.
Os segmentos start overline, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, end overline e start overline, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, end overline são ambos raios, então eles têm o mesmo comprimento. Isso significa que o triangle, C, B, D é isósceles, o que também significa que os ângulos de sua base são congruentes:
m, angle, C, equals, m, angle, D, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Etapa 2: encontrar o ângulo raso.

Três pontos A, C e D estão na circunferência centrados em torno do ponto B. O ponto D está a menos de noventa graus do ponto A no sentido horário. O ponto C está a cento e oitenta graus do ponto A no sentido horário. O segmento de reta A C é um diâmetro. O segmento de reta D C é uma corda. Os segmentos de reta B A, B C e B D são raios com r unidades de comprimento. O ângulo formado pelos pontos A, B e D está identificado como teta. O ângulo formado pelos pontos B C D está identificado como psi. O ângulo formado pelos pontos B, D e C está identificado como psi. O ângulo C B D está identificado como cento e oitenta graus menos teta.
O ângulo angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39 é um ângulo raso, então
θ+m∠DBC=180∘m∠DBC=180∘−θ\begin{aligned} \purpleC \theta + m\angle DBC &= 180^\circ \\\\ m\angle DBC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

Etapa 3: escrever uma equação e calcular start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Os ângulos internos do triangle, C, B, D são start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd e left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, e sabemos que os ângulos internos de qualquer triângulo somam 180, degrees.
ψ+ψ+(180∘−θ)=180∘2ψ+180∘−θ=180∘2ψ−θ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
Legal. Finalizamos nossa demonstração do Caso A. Só faltam mais dois casos!

Caso B: o diâmetro está entre os raios do ângulo inscrito, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

No caso B, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a mais de noventa graus do primeiro pontono sentido horário. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.

Etapa 1: ser esperto e desenhar o diâmetro

Usando o diâmetro, vamos dividir start color #11accd, \psi, end color #11accd em start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd e start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd e start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff em start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff e start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, assim:
No caso B, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a mais de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi. Um ponto também está na circunferência para fazer com que um segmento de reta que passa pelo centro e vai até o terceiro ponto seja um diâmetro. O ângulo theta um está à esquerda e o theta dois está à direita do diâmetro no qual teta estava localizado. O ângulo psi um está à esquerda e o ângulo psi dois está à direita do diâmetro localizado onde estava psi.

Etapa 2: usar o que aprendemos com o Caso A para estabelecer duas equações.

Em nosso novo diagrama, o diâmetro divide a circunferência em duas metades. Cada metade tem um ângulo inscrito com um raio sobre o diâmetro. Essa é a mesma situação que no Caso A, então sabemos que
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
e
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd
porque aprendemos isso no Caso A.

Etapa 3: somar as equações.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Some (1) e (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Agrupe as variaˊveisθ=2ψθ=θ1+θ2 e ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{Some (1) e (2)} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{Agrupe as variáveis} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{ e } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
O Caso B está finalizado. Falta só um!

Caso C: o diâmetro está fora dos raios do ângulo inscrito.

No caso C, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a menos de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.

Etapa 1: ser esperto e desenhar o diâmetro

Usando o diâmetro, vamos criar dois novos ângulos: start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 e start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, assim:
Há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a menos de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi. Um ponto está na circunferência com um segmento de reta conectando-o, através do centro, ao terceiro ponto e formando um diâmetro. O ângulo formado pelo novo ponto, pelo centro e pelo primeiro ponto está identificado como theta dois. O ângulo formado pelo ponto do centro, pelo terceiro ponto e pelo primeiro ponto está identificado como psi dois.

Etapa 2: usar o que aprendemos com o Caso A para estabelecer duas equações.

De modo similar ao que fizemos no Caso B, criamos um diagrama que nos permite usar o que aprendemos no Caso A. Com base nesse diagrama, sabemos o seguinte:
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

Etapa 3: substituir e simplificar.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
Pronto! Demonstramos que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd em todos os três casos.

Um resumo do que fizemos

Propusemo-nos a demonstrar que a medida de um ângulo central é o dobro da medida de um ângulo inscrito quando os dois ângulos interceptam o mesmo arco.
Começamos a demonstração estabelecendo três casos. Juntos, esses casos abrangem todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo central interceptam o mesmo arco.
Caso ACaso BCaso C
O caso A tem três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus no sentido horário do primeiro ponto. O terceiro ponto está a cento e oitenta graus no sentido horário do primeiro ponto. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto, que passa pelo centro, e pelo segundo ponto está identificado como psi.
No caso B, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a mais de noventa graus do primeiro pontono sentido horário. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.
No caso C, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a menos de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.
No caso A, identificamos um triângulo isósceles e um ângulo raso. A partir disso, elaboramos algumas equações usando start color #11accd, \psi, end color #11accd e start color #7854ab, theta, end color #7854ab. Com um pouco de álgebra, demonstramos que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
Nos casos B e C, inteligentemente introduzimos o diâmetro:
Caso BCaso C
No caso B, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a mais de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi. Um ponto também está na circunferência para fazer com que um segmento de reta que passa pelo centro e vai até o terceiro ponto seja um diâmetro. O ângulo theta um está à esquerda e o theta dois está à direita do diâmetro no qual teta estava localizado. O ângulo psi um está à esquerda e o ângulo psi dois está à direita do diâmetro localizado onde estava psi.
Há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a menos de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi. Um ponto está na circunferência com um segmento de reta conectando-o, através do centro, ao terceiro ponto e formando um diâmetro. O ângulo formado pelo novo ponto, pelo centro e pelo primeiro ponto está identificado como theta dois. O ângulo formado pelo ponto do centro, pelo terceiro ponto e pelo primeiro ponto está identificado como psi dois.
Isso tornou possível usar nosso resultado do Caso A, e foi o que fizemos. Nos casos B e C, escrevemos equações relacionadas às variáveis nas figuras, o que só foi possível graças ao que aprendemos no Caso A. Depois de estabelecermos nossas equações, usamos álgebra para mostrar que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

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