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Matemática EF: 9º Ano

Curso: Matemática EF: 9º Ano > Unidade 5

Lição 8: Introdução às razões trigonométricas
Matemática
Matemática EF: 9º Ano
Geometria
Introdução às razões trigonométricas
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Razões trigonométricas em triângulos retângulos

Google Sala de Aula
Aprenda a calcular o seno, cosseno e tangente de ângulos de triângulo retângulos.
As razões dos lados de um triângulo retângulo são chamadas razões trigonométricas. Três razões trigonométricas comuns são o seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tan). Elas estão definidas no triângulo agudo A abaixo:
O triângulo A B C com o ângulo A C B medindo noventa graus. O ângulo B A C é o ângulo de referência. O lado B C está identificado como oposto. O lado A C está identificado como adjacente. O lado A B está identificado como hipotenusa.
Nessas definições, os termos cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa se referem aos comprimentos dos lados.

SOH-CAH-TOA: uma maneira fácil de memorizar as razões trigonométricas

A palavra sohcahtoa nos ajuda a lembrar as definições de seno, cosseno e tangente. Funciona assim:
Parte do acrônimoDescrição verbalDescrição matemática
S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ffstart text, S, end texteno é o cateto start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end textposto sobre a start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end textipotenusas, e, n, left parenthesis, A, right parenthesis = start fraction, start text, start color #11accd, C, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end color #11accd, end text, divided by, start text, start color #aa87ff, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text, end fraction
C, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, start color #aa87ff, H, end color #aa87ffstart text, C, end textosseno é o cateto start text, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, end textdjacente sobre a start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end textipotenusacosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #ed5fa6, C, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end color #ed5fa6, end text, divided by, start text, start color #aa87ff, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text, end fraction
T, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6start text, T, end textangente é o cateto start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end textposto sobre o cateto start text, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, end textdjacentet, g, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #11accd, C, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end color #11accd, end text, divided by, start text, start color #ed5fa6, C, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end color #ed5fa6, end text, end fraction
Por exemplo, se queremos nos lembrar da definição do seno, fazemos referência a S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, uma vez que seno começa com a letra S. O start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end text e o start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end text nos ajudam a lembrar que seno é cateto start text, start color #11accd, o, p, o, s, t, o, end color #11accd, end text sobre start text, start color #aa87ff, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text!

Exemplo

Suponha que queremos encontrar o s, e, n, left parenthesis, A, right parenthesis no triangle, A, B, C dado abaixo:
O triângulo A B C com o ângulo A C B medindo noventa graus. O ângulo B A C é o ângulo de referência. O lado B C mede três unidades. O lado A C mede quatro unidades. O lado A B mede cinco unidades.
O seno é definido como a razão entre o cateto start text, start color #11accd, o, p, o, s, t, o, end color #11accd, end text e a start text, start color #aa87ff, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text left parenthesis, S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, right parenthesis. Portanto:
O triângulo A B C com o ângulo A C B medindo noventa graus. O ângulo B A C é o ângulo de referência. O lado B C mede três unidades. O lado A C mede quatro unidades. O lado A B mede cinco unidades. Os lados A B e B C estão em destaque.
sen⁡(A)= cateto oposto  hipotenusa=BCAB=35\begin{aligned}\operatorname{sen}( A)&=\dfrac{\blueD{\text{ cateto oposto }} }{ \purpleC{\text{ hipotenusa}} }\\\\ &=\dfrac{\blueD{BC}}{\purpleC{AB}}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{3}}{\purpleC{5}} \\\\\\ \end{aligned}
Veja outro exemplo em que resolvemos um problema semelhante:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Trigonometric ratios in right trianglesVer transcrição do vídeo

Prática

Triângulo 1: triangle, D, E, F
O triângulo D E F com o ângulo E D F medindo noventa graus. O lado D E mede doze unidades. O lado E F mede treze unidades. O lado D F mede cinco unidades.
cosine, left parenthesis, F, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

s, e, n, left parenthesis, F, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

t, g, left parenthesis, F, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Triângulo 2: triangle, G, H, I
O triângulo G H I com o ângulo G I H medindo noventa graus. O lado H I mede quinze unidades. O lado I G mede oito unidades. O lado H G mede dezessete unidades.
cosine, left parenthesis, G, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

s, e, n, left parenthesis, G, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

t, g, left parenthesis, G, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Desafio
No triângulo abaixo, qual das opções a seguir é igual a start fraction, a, divided by, c, end fraction?
Um triângulo retângulo com um ângulo de noventa graus, um ângulo de vinte graus e um ângulo de setenta graus. O lado oposto ao ângulo de vinte graus mede a unidades. O lado oposto ao ângulo de setenta graus mede b unidades. O lado oposto ao ângulo de noventa graus mede c unidades.
Escolha todas as respostas aplicáveis:

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