Razões trigonométricas em triângulos retângulos

RKA - Vamos fazer mais uma tonelada de exemplos para ter certeza de que estamos aplicando bem essas funções de trigonometria. Então, vamos aplicar em alguns triângulos retângulos. Vamos fazer alguns triângulos retângulos. E eu quero ser bem claro. Da forma como eu defini até agora, só irá funcionar em triângulos retângulos. Se você está tentando encontrar funções de trigonometria de ângulos que não fazem parte de triângulos retângulos, vamos ver que teremos que construir triângulos retângulos. Vamos focar apenas nos triângulos retângulos agora. Vamos dizer que tenho um triângulo e seu comprimento aqui embaixo é 7. Digamos que o comprimento desse lado aqui em cima, vamos dizer que é 4. Vamos descobrir quanto medirá a hipotenusa. Então, vamos chamar a hipotenusa de "h". A gente sabe que "h" ao quadrado será 7 ao quadrado + 4 ao quadrado. Sabemos isso do teorema de Pitágoras, que a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos. h² é igual a 7² + 4². Então é igual a 49 mais 16. 49 mais 16, 49 mais 10 são 59, mais 6 são 65. 65. Então isso é "h" ao quadrado. Deixa eu escrever. "h" ao quadrado. Esse é um tom diferente de amarelo, então nós temos que "h" ao quadrado é igual a 65. Fiz isso certo? 49 mais 10 é 59, mais 6, 65. Ou então, podemos dizer que "h" é igual a, se fizemos a raiz de ambos os lados, raiz quadrada de 65. Realmente não podemos simplificar. Isso é tudo. Isso é 13. É o mesmo que 13 vezes 5. Nenhum dos dois é um quadrado perfeito e os dois são primos, então não pode mais simplificar. E isso é igual a raiz quadrada de 65. Agora, vamos achar as funções, as funções trigonométricas desse ângulo aqui. Vamos chamar esse ângulo aqui de teta. Onde quer que você faça, sempre vai escrever, ao menos pra mim, escrever funciona, "Soh Cah toa" Soh, Cah, toa. Tenho essas vagas lembranças do meu professor de trigonometria, talvez eu tenha lido isso em algum livro, sei lá. Há alguma coisa sobre uma princesa indiana chamada "Sohcahtoa", ou, sei lá, mas é um método muito bom para memorizar. Podemos aplicar o "Soh Cah toa". Vamos dizer que queremos achar o cosseno. Queremos achar o cosseno do nosso ângulo, o cosseno do nosso ângulo, você diz "Soh Cah toa!" Então, o Cah nos diz o que fazer com o cosseno. A parte Cah diz que cosseno é adjacente sobre hipotenusa. Vamos olhar para o teta qual lado é adjacente. Bom, sabemos que é a hipotenusa é esse lado aqui. Então não pode ser esse lado. O único outro lado que é adjacente, que não é a hipotenusa é esse, 4. Então o lado adjacente aqui, esse lado aqui é literalmente ao lado do ângulo, é um dos lados que formam um ângulo. É 4 sobre a hipotenusa. Da hipotenusa já sabemos, é a raiz quadrada de 65. Então, são 4 sobre a raiz quadrada de 65. E algumas vezes as pessoas vão racionalizar o denominador, o que significa que não gostam de ter um número irracional no denominador, como a raiz quadrada de 65. Se vocês quisessem reescrever isso sem um número irracional no denominador, poderiam multiplicar o numerador e o denominador pela raiz quadrada de 65. Claramente não vai mudar o número, porque o estamos multiplicando por algo sobre ele mesmo, estamos multiplicando esse número por 1. O que não vai mudar o número, mas ao menos tira o número irracional do denominador. Então, o numerador se torna 4 vezes a raiz quadrada de 65, e o denominador, a raiz de 65 vezes raiz de 65, que será só 65. Não nos livramos do número irracional, ainda está aí, mas ao menos está no numerador. Vamos fazer as outras funções trigonométricas, ou menos as funções mais básicas. Vamos aprender no futuro que, na verdade, tem um monte delas, mas elas são todas derivadas dessas aqui. Vamos pensar no que o seno de teta é, mais uma vez "Soh Cah toa". O "Soh" tem a ver com seno. Seno é cateto oposto sobre hipotenusa. Então, qual é o cateto oposto a esse ângulo? Vamos para o lado oposto, para o que ele abre. Ele abre para o 7. O lado oposto é 7. Isso é bem aqui. Esse é o lado oposto. E depois a hipotenusa é oposto sobre hipotenusa. A hipotenusa é raiz de 65, raiz quadrada de 65. Se quisermos racionalizar isso, podemos multiplicar pela raiz de 65 sobre a raiz de 65, e no numerador teremos 7 raiz de 65. E no denominador, só 65 mais uma vez. Agora vamos calcular a tangente. Vamos fazer a tangente. Se eu te perguntar a tangente de teta, mais uma vez voltamos para "Soh Cah toa". A parte "toa" nos diz o que fazer com a tangente, nos diz que a tangente é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente, que é igual ao cateto oposto sobre cateto adjacente. Então esse ângulo, o que é o oposto? Já descobrimos. É 7. Ele abre para o 7, é oposto ao 7, então é 7 sobre o seu adjacente. Esse 4 é o adjacente. O 4. Então o lado adjacente é 4. Então é 7 sobre 4. E acabamos. Descobrimos todas as relações trigonométricas para teta. Vamos fazer outro. Vou fazer isso um pouco concreto, porque até agora estávamos dizendo qual é a tangente de "x", de teta. Vamos fazer um pouco mais concreto. Vou desenhar outro triângulo retângulo. Tudo com o que estivermos lidando serão triângulos retângulos. Digamos que a hipotenusa mede 4. Vamos dizer que esse lado aqui mede 2. E vamos dizer que esse lado aqui será 2 vezes a raiz quadrada de 3. Podemos verificar que isso está certo. Se você tem esse lado ao quadrado, vou escrever 2 vezes a raiz quadrada de 3 ao quadrado, mais 2 ao quadrado é igual a quanto? Esse é 2. Teremos 4 vezes três. 4 vezes 3 + 4, isso será igual a 12, + 4, é igual 16. E 16 é realmente 4². Então isso é igual a 4². Está de acordo com o teorema de Pitágoras. Se você se lembrar de algo do vídeo sobre triângulos 30, 60, 90, que deve ter aprendido em geometria, pode perceber que esse é um triângulo 30, 60, 90. Que isso aqui é o nosso ângulo reto. Eu deveria ter feito desde o começo para mostrar que é um triângulo retângulo. Esse ângulo tem 30 graus e esse ângulo, esse ângulo aqui tem 60 graus. E é 30, 60, 90, porque o lado oposto ao de 30 graus é metade da hipotenusa. E o lado oposto ao de 60 graus é raiz quadrada de 3 vezes o outro lado que não é a hipotenusa. Dito isso, não será uma revisão de triângulos 30, 60, 90, apesar de eu ter acabado de fazer isso. Vamos achar as relações trigonométricas para os diferentes ângulos. Se eu ou qualquer um perguntasse qual é o seno de 30 graus? Lembrem que 30 graus é um dos ângulos desse triângulo, mas ele iria se aplicar sempre que tiver um ângulo de 30 graus e estivermos lidando com o triângulo retângulo. Vamos ter definições mais amplas no futuro, mas se diz seno de ângulos de 30 graus. Ei! Esse ângulo aqui tem 30 graus, então posso usar esse triângulo retângulo. Nós só temos que lembrar "Soh Cah... toa". "Soh" nos diz o que fazer com o seno. Seno é cateto oposto sobre hipotenusa. Seno de 30 graus é o lado oposto, que é o lado oposto, que é 2 sobre a hipotenusa. A hipotenusa aqui é 4. É 2 quartos, que é o mesmo que 1 meio. Seno de 30 graus, vocês vão ver que sempre será igual a 1 meio. E qual é o cosseno? O cosseno de 30 graus. Mais uma vez voltamos para "Soh Cah toa". O "Cah" nos diz o que fazer com o cosseno. Cosseno é cateto adjacente sobre hipotenusa. Para olhar o ângulo de 30 graus, ele é o cateto adjacente. Isso bem aqui é adjacente, está bem do lado, não é a hipotenusa, é cateto adjacente sobre hipotenusa. Então são 2 raiz quadrada de 3 cateto adjacente sobre hipotenusa, sobre 4. Ou se simplificarmos isso, dividimos o numerador e o denominador por 2, é a raiz de 3 sobre 2. Finalmente vamos fazer a tangente. Tangente de 30 graus. Voltamos para o "Soh Cah toa". "toa" nos fala sobre tangente: é cateto oposto sobre cateto adjacente. Vai para o ângulo de 30° pois é ele que estamos estudando. Tangente de 30°. Cateto oposto é 2. E cateto adjacente é 2 raiz quadrada de 3, está bem do lado dele. É adjacente a ele. Adjacente significa logo ao lado. Então, 2 raiz quadrada de 3. Isso é igual a, os dois se cancelam, 1 sobre raiz de 3, ou podemos multiplicar o numerador e o denominador por raiz de 3. Então, temos raiz quadrada de 3 sobre raiz quadrada de 3. Isso será igual ao numerador. Raiz quadrada de 3 e depois o denominador bem aqui será 3. Agora que racionalizamos, raiz quadrada de 3 sobre 3. Muito bom. Vamos usar o mesmo triângulo para estudar ângulos de 60 graus, já que já desenhamos. Quanto é o seno de 60 graus? Acho que já estão pegando o jeito. Seno é cateto oposto sobre adjacente. Soh, vem de SohCahtoa. Qual é o lado oposto ao ângulo de 60 graus? O cateto oposto sobre hipotenusa é 2 raiz quadrada de 3 sobre 4. 4 é a hipotenusa. Então é igual a, simplifica para a raiz quadrada de 3 sobre 2, qual é o cosseno de 60 graus? Cosseno de 60 graus, "Soh Cah toa". O cosseno é cateto adjacente sobre hipotenusa. Adjacente é o lado que forma um ângulo de 60 graus com a hipotenusa. Então, é 2 sobre hipotenusa, que é 4. Então, é igual a meio. E depois, finalmente, qual é a tangente? Qual é a tangente de 60 graus? Opa! Tangente? SohCahtoa. "toa". Tangente é cateto oposto sobre cateto adjacente. O oposto ao ângulo de 60 graus é 2 raiz quadrada de 3. E adjacente a isso é 2. Adjacente a 60 graus é 2. Então é oposto sobre adjacente, 2 raiz de 3 sobre 2, o que é igual a raiz quadrada de 3. E eu só queria, olha como estão relacionados. O seno de 30 graus é o mesmo que o cosseno de 60 graus. O cosseno de 60 graus é o mesmo que o seno de 60 graus. E esses caras aqui são o inverso um do outro. Acho que se pensarmos um pouco sobre esse triângulo, vai começar a fazer sentido porque nós vamos continuar estendendo isso e te dar mais prática nos próximos vídeos.