Ângulos desconhecidos (Geometria CA)

RKA - Estamos no problema 46. Na figura abaixo, o segmento AB é paralelo a CD. Isto é CD. Muito bem, suponho que AB seja paralelo a CD. E eles dizem: qual é o valor de "x"? Qual é o valor de "x"? Uma forma de pensar nisso é: se esses dois são retas paralelas, esse segmento aqui é uma transversal. Se a gente prolongar estas duas retas assim, deixa eu ver se eu consigo fazer isso direito, se eu prolongar essa reta assim, e se prolongasse essa reta assim, o segmento AD seria só uma transversal. Vamos ver se consigo fazer isso direito. Então, se eu prolonga-lo assim. Olha só, é uma transversal, e poderia ir para outra direção também. Acho que entendeu a ideia. Se isso é uma transversal, o que sabe sobre transversais? A gente sabe que esse ângulo bem aqui, vou desenhar pequeno, é congruente a esse ângulo aqui. A medida desse ângulo também é "x" mais 40, porque são ângulos correspondentes, e poderia ver isso só olhando e se você se movesse ao redor da transversal. Faria sentido neste caso. Então, esse é "x" mais 40 e esse é "x" menos 40, e eles claramente são suplementos um do outro, são ângulo suplementares. E a soma desses 2 ângulos tem que ser igual a 180. "x" menos 40, mais "x", mais 40 é igual a 180 porque são suplementares. Os 40 se cancelam, então, menos 40 mais 40 somam zero, e você tem que 2x são iguais a 180, "x" é igual a 90. Então é "D", 47. As medidas dos ângulos internos de um pentágono são: 2x, 6x, 4x - 6, 2x - 16 e 6x + 2. Qual é a medida em graus do maior ângulo? Bom, antes de tudo, precisamos lembrar: qual é a soma dos ângulos internos de um pentágono? E é por isso que sempre desenho um pentágono aleatório. Vamos ver se eu consigo fazer. Na verdade, tem uma ferramenta de pentágono aqui. Como funciona, hein? Só estou tentando desenhar um pentágono. Eu não sei se é muito diferente da ferramenta de reta. Mas enfim! Então, quantos triângulos consigo desenhar em um pentágono? E isso me diz qual é a medida total de ângulos internos. E há uma fórmula para isso, mas prefiro confiar na lógica mais do que na fórmula, porque você pode esquecer a fórmula ou, ainda pior, pode lembrar mas não ter confiança de usá-la, ou lembrar errado dez anos depois. A melhor coisa a fazer, se tem um polígono, é contar os triângulos no seu interior. Direto o bastante, é quase mais fácil do que usar a fórmula. Então, um pentágono tem 3 triângulos em seu interior. A soma dos ângulos internos será 3 vezes 180, porque tem 3 triângulos dentro dele, cada triângulo tem 180°. E sei que vocês não conseguem ver o que eu acabei de escrever. Então, a soma de todos esses ângulos será a soma de todos os ângulos internos dos 3 triângulos. É 3 vezes 180, que é igual a 540°. Esta é a soma de todos os ângulos internos. E agora, dizem que cada um deles é 2x, 6x, etc. A soma de todos esses termos tem que ser igual a 540. Vou escrevê-los verticalmente, fica mais fácil de somar. Então, vamos escrever ali: 2x, 6x, 4x menos 6, 2x menos 16 e 6x mais 2. Esse aqui será o maior. Certo? A soma será igual a 540. Vamos somar: -6 -16 é igual a 22, +2 são -20. Certo? E 2x mais 6x são 8x, mais 4x são 12x, 12x mais 2x são 14x, 14x mais 6x são 20x. Temos 20x menos 20, que é igual a 540°. Deixa eu escrever de novo. 20x menos 20 é igual a 540. Vamos dividir os dois lados dessa equação por 20. E você tem que: "x" menos 1 é igual a, seria 54 dividido por 2, que é igual a 27. Adicione 1 aos dois lados e "x" é igual a 28. E eles querem saber qual é a medida em graus do maior ângulo, que será esse aqui, esse é o maior. É 6 vezes "x" mais 2. 6 vezes 28 são, 48 vão 4, 2 vezes 6 são 12, mais 4, 168. Então, são 168 mais 2, são 170°. Alternativa "C". Problema 48: qual é a medida do ângulo 1? Então, estamos entrando no jogo do ângulo. E esses são legais porque são meio que aqueles jogos de lógica dedutiva, que você tem que usar algumas regras simples e completar tudo. Então, vamos pensar. Esse tem 36° e dizem que esse ângulo inteiro aqui é um ângulo reto. Esse ângulo aqui será um complemento para 36°. 36°. 36 mais esse ângulo tem que ser igual a 90. Qual é esse? Esse é 90 menos 36, que dá 54. Esse será 54°. 90 menos 30, 60. Certo! São 54. E esse ângulo bem aqui será suplemento de 88. Ele será, então, vou fazer em uma cor diferente, 180 menos 88, que é igual a 92°. Agora, esse ângulo 1, mais 54, mais 92 é igual a 180. A gente sabe que, digamos que ângulo 1 mais 54, mais 92 são 180. Isso é, 146 é igual a 180, tire 146 dos dois lados, a medida do ângulo 1 é igual a 80 menos 40, é 40. Então, 80 menos 46 são 34°. A resposta correta é "A". Problema 49: qual é a medida do ângulo WZX? Eles querem saber o que é este ângulo aqui. Vamos fazer o jogo do ângulo de novo. Vejamos. Podemos imediatamente calcular a medida desse ângulo porque ele é o suplemento de 132. Então, será 180 menos 132. Esse tem 48°. Esse ângulo, mais esse ângulo, mais esse ângulo são iguais a 180. Vamos escrever. Esse ângulo será igual a 180 menos 52, menos 48. Como a soma dos ângulos dá 180, então, isso é igual a 180 menos 100, o que dá 80°. Esse ângulo bem aqui é igual a 80°. E o ângulo que eles querem que a gente descubra é oposto pelo vértice a esse ângulo. Ou, nos Estados Unidos, acho que eles dizem ângulos verticais. Mas aqui no Brasil dizemos que esses ângulos são opostos pelo vértice. Então, ângulos opostos pelo vértice são iguais ou congruentes. Então, esse será 80 também. E a resposta é "A". Problema 50: qual é a medida de um ângulo externo de um hexágono regular? Em um hexágono regular, todos os seus lados são iguais e todos os ângulos são iguais. Se soubermos qual a medida total dos ângulos interiores, a gente poderia dividir por 6, e depois isso nos daria quanto cada ângulo interno mede, e depois a gente poderia usar essa informação para calcular os ângulos externos. Vamos fazer isso. Mais uma vez, gosto de desenhar o hexágono. Vamos desenhar um e contar seus triângulos. 2 lados, 3 lados, 4 lados, 5 lados e 6 lados. E quantos triângulos tenho aqui? 1, 2, 3. Tenho 1, 2, 3, 4 triângulos. A soma dos ângulos interiores desse hexágono, de qualquer hexágono, sendo ele regular ou não, será 4 vezes 180. E isso são 720°. E é um hexágono regular. Então, todos os ângulos internos serão iguais. São congruentes. E há 6 deles. Então, cada um deles será 720 graus dividido por 6. 6 cabe em 72 doze vezes. Cada ângulo interno terá 120°. E eu não desenhei tão regular, mas podemos considerar que todos esses ângulos têm 120°. Muito bom! Se todos esses têm 120 cada, qual é a medida do ângulo externo? Bom, poderíamos prolongar um desses lados um pouco mais. A gente pode dizer: "Beleza! Se isso tem 120°, quanto é este suplemento?" Bom, eles têm que somar 180. Então, 180 menos 120 são 60°. Eu poderia fazer isso em qualquer lado, poderia prolongar aquela reta e dizer: "Olha só, 60°!" Qualquer ângulo externo tem 60°. "B". Até breve!