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Prova das retas paralelas e ângulos correspondentes

Demonstração por contradição de que a equivalência do ângulo correspondente implica retas paralelas. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Sabemos que se tivermos duas retas paralelas, então, desenhamos duas retas paralelas. "l" e "m". Então, é reta "l" e reta "m". A gente sabe que, se elas são paralelas, se desenharmos uma transversal que intercepta as duas, então os ângulos correspondentes são iguais. Então, esse é "x' e esse é "y". Então, sabemos que se "l" é paralelo à "m", então, "x" é igual a "y". O que eu quero fazendo esse vídeo é provar o contrário. Quero provar, isso é o que sabemos, eu quero provar que se "x" é igual a "y" então "l" é paralela a "m". Podemos ir em qualquer direção, se eles são paralelos, então os ângulos correspondentes são iguais. E quero mostrar que, se os ângulos correspondentes são iguais, então as retas são definitivamente paralelas. Quero provar por contradição, então, vamos colocar isso de lado. Isso é o que a gente quer fazer. Eu vou assumir que isso não é verdade, vou assumir que isso não é verdade, então vou assumir que "x" é igual a "y" e "l" não é paralela, não é paralela a "m". Vamos pensar no tipo de realidade que isso cria. Então, se "l" e "m" não são paralelas e são retas diferentes e interceptam em algum ponto, vou desenhar a "l" assim, essa é a linha "l". vou desenhar a "m" assim. Eles vão fazer a intersecção por definição. Se duas retas não são paralelas, elas vão fazer intersecção. E isso vai ser "m" e essa, que não era uma transversal só vou desenhar aqui, só desenho aqui e então isso é "x" e isso é "y". Assumo, então, o que "y" é igual a "x". Podemos, também, chamar a medida desse ângulo, podemos chamar a medida daquele ângulo de "x". Com essa realidade, eu vou assumir que, em qualquer caso, isso tenha alguma distância que essa reta não tem zero de comprimento. Essa reta aqui não vai ter zero de comprimento, esse segmento de reta entre os pontos A e B. A e B, acho que podemos dizer aqui A e B. O cumprimento desse segmento de reta é maior que zero. Eu acho que é uma conclusão correta. Em qualquer caso, AB será maior que 0. Assumindo que essas duas não são paralelas, ganhamos um triângulo legal aqui. Onde AB é em um dos lados e os outros dois lados são, acho que podemos chamar isso de, um ponto de intersecção C. Os outros dois lados são o segmento de reta BC e o segmento de reta AC. E a gente sabe bastante sobre como encontrar os ângulos de um triângulo. Vamos, então, ver o que acontece quando aplicamos o que já sabemos. Primeiro de tudo, se esse ângulo é "x" sabemos que é suplementar a esse ângulo aqui. Então, esse ângulo vai ter a medida de 180 menos x. Sabemos que esse ângulo e esse último ângulo, vamos chamar de ângulo Z, nós sabemos que a soma dos ângulos interiores de um triângulo vai ser igual a 180 graus. Então, a gente sabe que "x" mais 180, menos x, mais 180, menos x mais Z, mais Z vai ser igual a 180 graus. Esses "x" são cancelados. Você pode subtrair 180 graus dos dois lados e sobra Z é igual a 0. Se a gente assumir que "x" é igual a "y", mas "l" não é paralela a "m", nós temos essa situação. É uma situação esquisita que o ângulo de intersecção, as duas, as duas retas, definitivamente, não são paralelas. De repente, se torna 0 grau. 0 grau. Mas é, completamente, absurdo. Isso é zero grau, então, significa que esse triângulo não iria abrir de jeito nenhum. O que significa que o comprimento do segmento de reta AB vai ter que ser 0. Tem que ser, essencialmente, você pode chamar de triângulo geral, mas não seria um triângulo seria uma reta. Essas duas retas teriam que ser a mesma reta, nem formariam um triângulo. Isso nos leva a uma contradição que é, se essa reta AB teria que ser igual a zero, seria mais ou menos ali. E outra contradição que poderia aparecer é que essas duas retas teriam que ser a mesma reta porque não existe abertura entre elas. Então, de qualquer forma, isso nos leva a uma contradição. E uma vez que nos leva a essa contradição, se você assumir que "x" é igual a "y" e "l" não é igual a "m", você é levado, tem algo que não faz sentido, tem conclusões contraditórias essencialmente. A prova se "x" é igual a "y", então "l" é paralela a "m porque mostramos que se "x" é igual a "m" não tem jeito de "l" e "m" não serem, para "l" e "m" serem duas retas diferentes e para não serem paralelas. Então, provamos nossa afirmação. Agora, vamos nas duas direções, as retas são paralelas, os ângulos correspondentes são iguais. Se os ângulos correspondentes são iguais, então, as retas são paralelas.